中考范围数学难题.一组抛物线的顶点A1（X1,Y1）,A2（X2,Y2）,…,An（Xn,Yn）【n为正整数】依次是反比例函数y=9/X图像上的点,且这组抛物线中以A1（X1,Y1）为顶点的抛物线经过点O（0,0）,B1（2,0）,以A2（X2,Y2）为顶点的抛物线经过点B2（2,0）,B2（4,0）,…,以An（Xn,Yn）为顶点的抛物线经过点Bn-1（2n-2,0）,Bn（2n,0）.【一】定义：若第n条抛物线y=anx^2+bnx^2+cn的二次项系数an、一次项系数bn,常数项Cn满足bn+cn=
2019-04-19
中考范围数学难题.
一组抛物线的顶点A1（X1,Y1）,A2（X2,Y2）,…,An（Xn,Yn）【n为正整数】依次是反比例函数y=9/X图像上的点,且这组抛物线中以A1（X1,Y1）为顶点的抛物线经过点O（0,0）,B1（2,0）,以A2（X2,Y2）为顶点的抛物线经过点B2（2,0）,B2（4,0）,…,以An（Xn,Yn）为顶点的抛物线经过点Bn-1（2n-2,0）,Bn（2n,0）.
【一】定义：若第n条抛物线y=anx^2+bnx^2+cn的二次项系数an、一次项系数bn,常数项Cn满足bn+cn=2an,则称这条抛物线为蝴蝶抛物线.
探究：这组抛物线中是否存在蝴蝶抛物线?若存在,请你确定它是这组抛物线中的第几条抛物线,若不存在,请说明理由.
【二】一条抛物线的顶点与X轴的两个交点所构成的等腰三角形叫做该抛物线的内接三角形.
①内接三角形的面积为整数的抛物线有_____条.（为什么?）
②若第m条和第n条抛物线的内接三角形顶角互补,求m、n的值.
优质解答
一、存在
令第n条抛物线的解析式为：y=anx²+bnx+cn
由韦达定理得：
-bn/an=2n-2+2n;cn/an=2n*(2n-2)
bn=(2-4n)an;cn=(4n²-4n)an
∵bn+cn=2an
∴(2-4n)an+(4n²-4n)an=2an
n²-2n=0
n=0(舍去);n=2
因此,第2条抛物线是蝴蝶抛物线
二、
①xn=[(2n-2)+2n]/2=2n-1
yn=9/(2n-1)
S△=1/2*[2n-(2n-2)]*9/(2n-1)=9/(2n-1)
n=1,2,5
因此,有3条
②顶角互补,则顶角的半角互余
AmBm的直线斜率为：tanα=km=[9/(2m-1)-0]/[(2m-1)-2m]=-9/(2m-1)
AnBn的直线斜率为：tanβ=kn=[9/(2n-1)-0]/[(2n-1)-2n]=-9/(2n-1)
∵α+β=90°
∴-9/(2m-1)*[-9/(2n-1)]=1
(2m-1)(2n-1)=81
81=1*3*3*3*3
∴m=1,n=41;m=3,n=14;m=14,n=3;m=41,n=1
注：这题太难了,不像是中考题.
一、存在
令第n条抛物线的解析式为：y=anx²+bnx+cn
由韦达定理得：
-bn/an=2n-2+2n;cn/an=2n*(2n-2)
bn=(2-4n)an;cn=(4n²-4n)an
∵bn+cn=2an
∴(2-4n)an+(4n²-4n)an=2an
n²-2n=0
n=0(舍去);n=2
因此,第2条抛物线是蝴蝶抛物线
二、
①xn=[(2n-2)+2n]/2=2n-1
yn=9/(2n-1)
S△=1/2*[2n-(2n-2)]*9/(2n-1)=9/(2n-1)
n=1,2,5
因此,有3条
②顶角互补,则顶角的半角互余
AmBm的直线斜率为：tanα=km=[9/(2m-1)-0]/[(2m-1)-2m]=-9/(2m-1)
AnBn的直线斜率为：tanβ=kn=[9/(2n-1)-0]/[(2n-1)-2n]=-9/(2n-1)
∵α+β=90°
∴-9/(2m-1)*[-9/(2n-1)]=1
(2m-1)(2n-1)=81
81=1*3*3*3*3
∴m=1,n=41;m=3,n=14;m=14,n=3;m=41,n=1
注：这题太难了,不像是中考题.