为什么矩阵的几何重数之和等于矩阵的阶数时,矩阵相似于对角阵?
2020-04-29
为什么矩阵的几何重数之和等于矩阵的阶数时,矩阵相似于对角阵?
优质解答
因为矩阵任一特征值λ的几何重数≤λ的代数重数
∴所有特征值的几何重数之和≤所有特征值的代数重数之和
而所有所有特征值的代数重数之和=矩阵的阶数
∴所有特征值的几何重数之和=所有特征值的代数重数之和
等号取到的条件必然是对任一特征值λ,都有
λ的几何重数=λ的代数重数,而这是矩阵相似对角阵的充要条件
∴几何重数之和=矩阵阶数矩阵相似对角阵
因为矩阵任一特征值λ的几何重数≤λ的代数重数
∴所有特征值的几何重数之和≤所有特征值的代数重数之和
而所有所有特征值的代数重数之和=矩阵的阶数
∴所有特征值的几何重数之和=所有特征值的代数重数之和
等号取到的条件必然是对任一特征值λ,都有
λ的几何重数=λ的代数重数,而这是矩阵相似对角阵的充要条件
∴几何重数之和=矩阵阶数矩阵相似对角阵