某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请
2019-04-11
某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；
（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？
| P（K2≥k0） | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
附：K2=| n(ad-bc)2 |
| (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
．
优质解答
（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，
分数小于等于110分的学生中，
男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；
女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…（2分）
从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：
（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；
其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），
（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…（4分）
故所求的概率为P==…（6分）
（2）由频率分布直方图可知，
在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…（7分）
据此可得2×2列联表如下：
| 数学尖子生 | 非数学尖子生 | 合计 |
| 男生 | 15 | 45 | 60 |
| 女生 | 15 | 25 | 40 |
| 合计 | 30 | 70 | 100 |
（9分）
所以得K2=| n(ad-bc)2 |
| (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
=| 100×(15×25-15×45)2 |
| 60×40×30×70 |
≈1.79；…（11分）
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…（12分）
（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，
分数小于等于110分的学生中，
男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；
女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…（2分）
从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：
（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；
其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），
（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…（4分）
故所求的概率为P==…（6分）
（2）由频率分布直方图可知，
在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…（7分）
据此可得2×2列联表如下：
| 数学尖子生 | 非数学尖子生 | 合计 |
| 男生 | 15 | 45 | 60 |
| 女生 | 15 | 25 | 40 |
| 合计 | 30 | 70 | 100 |
（9分）
所以得K2=| n(ad-bc)2 |
| (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) |
=| 100×(15×25-15×45)2 |
| 60×40×30×70 |
≈1.79；…（11分）
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…（12分）