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第二十一章第二十一章第二十一章第二十一章 二次根二次根二次根二次根式式式式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内,负数没有平方根. 2、一般地,我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号. 3、a（a≥0）是一个非负数.当a为带分数是,要把a改写成假分数,即5322要写成538 4、二次根式的性质：（a）2=a（a≥0）, 2a=a（a≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 6、二次根式的乘法规定：a×b=ab（a≥0,b≥0） 7、二次根式的除法规定：ba=ba（a≥0,b＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2 12、二次根式除法没有分配率,任何非零数的零次幂都是1,（ab）m=ambm 第二十二章第二十二章第二十二章第二十二章 一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程 1、 等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程. 2、 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数；c是常数项. 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做这个方程的解,一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)的形式,那么可得x=p±或mx+n=p± （2） 配方法：步骤：第一步,把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步,把常数项移到方程的右边；第三步,配方,方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步,把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式,即（x-k）2=h(h≥0)；第五步,用直接开平方法解方程. （3） 公式法：Δ=b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式.当Δ＞0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.当Δ≥0时,式子x=aacbb242−±−叫做一元二次根式 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式. （4） 因式分解法：左端能够因式分解成（a1x+b1）(a2x+b2)=0,根据乘法中一个数同零相乘积是零的性质,可得（a1x+b1）=0或(a2x+b2)=0,进而求出方程的解. 5、 一元二次方程的根与系数的关系：方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系：x1+ x2=-ab, x1 x2=ac 6、 一元二次方程解实际应用题的步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列代数式；（4）列方程；（5）解方程；（6）检验；（7）写出答案. ① 平均增长率方面：平均增长率公式：a(x+1)2=b；降低率公式：a(x-1)2=b（a为起始量,b为终止量,n为增长的次数及降低的次数,x为平均增长率及平均降低率） ② 利润方面：总利润=总销售额-总成本；总利润=单个利润×总销售量 ③ 与几何图形有关的：涉及三角形的三边关系,三角形全等,面积的计算,体积的计算,勾股定理等 ④ 行程方面：路程=速度×时间 第二十三章第二十三章第二十三章第二十三章 旋转旋转旋转旋转 1、 平移是指在平面内,将一个图形上的所有点按照某个方向作相同距离的移动.性质：对应线段平行且相等；对应角相等；对应点所连接的线段平行且相等. 轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合. 旋转是指在平面内,把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换；在旋转过程中始终保持固定不动的定点叫旋转中心；图形绕一个定点沿某个方向转动的角叫旋转角. 2、 旋转性质：（1）只改变位置,不改变图形的大小及形状；（2）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都相等；（3）对应点到旋转中心的距离相等；（4）图形上的每一个点都沿相同的方向旋转相同都角度. 3、 旋转作图的步骤：第一步,确定旋转角的大小和方向；第二步,确定每对对应点；第三步,确定旋转后的图形.一般情况下,旋转角小于360度. 4、 把一个图形绕着某一点旋转180度,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称, 5、 全等的图形不一定是中心对称,而中心对称的两个图形一定全等.中心对称有一个对称中心,绕中心旋转180度,旋转后与另一个图形重合；轴对称有一条对称轴,图形对称折叠,折叠后与另一个图形重合. 6、 中心对称性质：（1）中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分；（2）中心对称的两个图形是全等图形. 7、 把一个图形绕着某一点旋转180度,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.线段、平行四边形是中心对称图形.（1）既是轴对称又是中心对称图形的有：长方形、正方形、圆、菱形等（2）只是轴对称的有：角、五三角形、等边三边形、等腰梯形等(3)只是中心对称的有：平行四边形等（4）既不是轴对称又不是中心对称图形的有：不等边三角形、非等腰梯形等. 8、 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即P（x,y）关于原点的对称点为P'(-x,-y) 第二十四章第二十四章第二十四章第二十四章 圆圆圆圆 1、圆：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.圆上各点到定点的距离都等于定长；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 2、连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦. 3、 圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧；小于半圆的圆弧叫劣弧,大于半圆的圆弧叫优弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆.能够重合的两个圆叫等圆,在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧. 4、 圆是轴对称图形、中心对称图形,任何一条直径所在直线直线直线直线都是它的对称轴. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弦.推导：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 5、 把顶点在圆心的角叫做圆心角.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它所对应的其余各组量也相等. 6、 圆周角条件：顶点在圆上；角的两边必须与圆相交.同一条弧所对的圆周角有无数个.圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半.推导：半圆（直径）所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是直径.在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等. 7、 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.性质：圆内接四边形的对角互补.如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 8、 （1）点和圆的位置关系：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r.（2）不在同一直线的三个点确定一个圆.（3）经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫这个三角形的外心.任意三角形都有且只有一个外接圆,圆的内接三角形有无数个.（3）假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,有矛盾断定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法. 9、 （1）直线和圆的位置关系：直线L和⊙O相交⇔d＜r；直线L和⊙O相切⇔d=r；直线L和⊙O相离⇔d＞r.相交有两个公共点,公共点为交点,直线叫割线；相切有1个公共点,公共点叫切点,直线叫切线；相离没有公共点.（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（有切线,连半径,得垂直）.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.（3）判断一条直线是否是切线的方法：①一条直线与一个圆只有一个公共点②圆心到一条直线的距离等于这个圆的半径；③切线的判定定理.（4）经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段长,叫这点到圆的切线长.过圆上的一点只能引圆的一条切线.（5）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫三角形的内心,内心一定在三角形的内部.一个圆可以有无数个外切三角形,但一个三角形只有一个内切圆.直形的内切圆半径r=21(短直角边+长直角边-斜边长)；三角形的周长L,面积S,半径r,则S=21Lr. 10、（1）圆和圆的外置关系：相离没有公共点包括外离d＞r1+r2,内含d＜r1+r2；相切一个公共点包括外切d=r1+r2,内切d=r1-r2；相交两个公共点r1-r2＜d＜r1+r2.（2）等腰三角形三线合一（中线,垂直平分线,角平分线） 11、一个正多边形的外接圆的圆心叫这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形的每一边所对的圆心角叫正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫正多边形的边心距. 12、（1）正n边形的内角和是（n-2）×1800,所以每一个内角为nn180*)2(−；（2）正n边形的中心角的和是360度,所以正n边形的一个中心角是n0360；（3）正n边形的中心角和外角的大小相等；（4）判断一个多边形是否是正多边形的条件：各边都相等；各内角都相等；（5）圆内接正三角形,正三角形半径r,边心距d,则d=21r；正四边形d=22r；正六边形d=23r；（6）正三角形半径r,边长x,x=3r；正四边形x=2r；正六边形x=r；（7）正三角形半径r,面积S,则S=343R2；正四边形S=2 R2；正六边形S=323R2. 13、圆的周长C=2πR,n°的圆心角所对的弧长为L=180Rnπ；圆的面积S=πR2,扇形的周长C=2R+L,扇形的面积①S=3602Rnπ；②S=21LR（L为扇形的弧长） 14、圆锥的侧面积S=21L×2πR=πRL（L为母线,R为底面圆半径）；圆锥的表面积（全面积）S=πRL+πR2
第二十一章第二十一章第二十一章第二十一章 二次根二次根二次根二次根式式式式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内,负数没有平方根. 2、一般地,我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号. 3、a（a≥0）是一个非负数.当a为带分数是,要把a改写成假分数,即5322要写成538 4、二次根式的性质：（a）2=a（a≥0）, 2a=a（a≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 6、二次根式的乘法规定：a×b=ab（a≥0,b≥0） 7、二次根式的除法规定：ba=ba（a≥0,b＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2 12、二次根式除法没有分配率,任何非零数的零次幂都是1,（ab）m=ambm 第二十二章第二十二章第二十二章第二十二章 一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程 1、 等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程. 2、 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数；c是常数项. 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做这个方程的解,一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)的形式,那么可得x=p±或mx+n=p± （2） 配方法：步骤：第一步,把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步,把常数项移到方程的右边；第三步,配方,方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步,把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式,即（x-k）2=h(h≥0)；第五步,用直接开平方法解方程. （3） 公式法：Δ=b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式.当Δ＞0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.当Δ≥0时,式子x=aacbb242−±−叫做一元二次根式 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式. （4） 因式分解法：左端能够因式分解成（a1x+b1）(a2x+b2)=0,根据乘法中一个数同零相乘积是零的性质,可得（a1x+b1）=0或(a2x+b2)=0,进而求出方程的解. 5、 一元二次方程的根与系数的关系：方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系：x1+ x2=-ab, x1 x2=ac 6、 一元二次方程解实际应用题的步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列代数式；（4）列方程；（5）解方程；（6）检验；（7）写出答案. ① 平均增长率方面：平均增长率公式：a(x+1)2=b；降低率公式：a(x-1)2=b（a为起始量,b为终止量,n为增长的次数及降低的次数,x为平均增长率及平均降低率） ② 利润方面：总利润=总销售额-总成本；总利润=单个利润×总销售量 ③ 与几何图形有关的：涉及三角形的三边关系,三角形全等,面积的计算,体积的计算,勾股定理等 ④ 行程方面：路程=速度×时间 第二十三章第二十三章第二十三章第二十三章 旋转旋转旋转旋转 1、 平移是指在平面内,将一个图形上的所有点按照某个方向作相同距离的移动.性质：对应线段平行且相等；对应角相等；对应点所连接的线段平行且相等. 轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合. 旋转是指在平面内,把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换；在旋转过程中始终保持固定不动的定点叫旋转中心；图形绕一个定点沿某个方向转动的角叫旋转角. 2、 旋转性质：（1）只改变位置,不改变图形的大小及形状；（2）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都相等；（3）对应点到旋转中心的距离相等；（4）图形上的每一个点都沿相同的方向旋转相同都角度. 3、 旋转作图的步骤：第一步,确定旋转角的大小和方向；第二步,确定每对对应点；第三步,确定旋转后的图形.一般情况下,旋转角小于360度. 4、 把一个图形绕着某一点旋转180度,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称, 5、 全等的图形不一定是中心对称,而中心对称的两个图形一定全等.中心对称有一个对称中心,绕中心旋转180度,旋转后与另一个图形重合；轴对称有一条对称轴,图形对称折叠,折叠后与另一个图形重合. 6、 中心对称性质：（1）中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分；（2）中心对称的两个图形是全等图形. 7、 把一个图形绕着某一点旋转180度,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.线段、平行四边形是中心对称图形.（1）既是轴对称又是中心对称图形的有：长方形、正方形、圆、菱形等（2）只是轴对称的有：角、五三角形、等边三边形、等腰梯形等(3)只是中心对称的有：平行四边形等（4）既不是轴对称又不是中心对称图形的有：不等边三角形、非等腰梯形等. 8、 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即P（x,y）关于原点的对称点为P'(-x,-y) 第二十四章第二十四章第二十四章第二十四章 圆圆圆圆 1、圆：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.圆上各点到定点的距离都等于定长；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 2、连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.直径是弦,但弦不一定是直径,直径是圆中最长的弦. 3、 圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧；小于半圆的圆弧叫劣弧,大于半圆的圆弧叫优弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆.能够重合的两个圆叫等圆,在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧. 4、 圆是轴对称图形、中心对称图形,任何一条直径所在直线直线直线直线都是它的对称轴. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弦.推导：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 5、 把顶点在圆心的角叫做圆心角.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它所对应的其余各组量也相等. 6、 圆周角条件：顶点在圆上；角的两边必须与圆相交.同一条弧所对的圆周角有无数个.圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半.推导：半圆（直径）所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是直径.在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等. 7、 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.性质：圆内接四边形的对角互补.如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 8、 （1）点和圆的位置关系：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r.（2）不在同一直线的三个点确定一个圆.（3）经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫这个三角形的外心.任意三角形都有且只有一个外接圆,圆的内接三角形有无数个.（3）假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,有矛盾断定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法. 9、 （1）直线和圆的位置关系：直线L和⊙O相交⇔d＜r；直线L和⊙O相切⇔d=r；直线L和⊙O相离⇔d＞r.相交有两个公共点,公共点为交点,直线叫割线；相切有1个公共点,公共点叫切点,直线叫切线；相离没有公共点.（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（有切线,连半径,得垂直）.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.（3）判断一条直线是否是切线的方法：①一条直线与一个圆只有一个公共点②圆心到一条直线的距离等于这个圆的半径；③切线的判定定理.（4）经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段长,叫这点到圆的切线长.过圆上的一点只能引圆的一条切线.（5）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫三角形的内心,内心一定在三角形的内部.一个圆可以有无数个外切三角形,但一个三角形只有一个内切圆.直形的内切圆半径r=21(短直角边+长直角边-斜边长)；三角形的周长L,面积S,半径r,则S=21Lr. 10、（1）圆和圆的外置关系：相离没有公共点包括外离d＞r1+r2,内含d＜r1+r2；相切一个公共点包括外切d=r1+r2,内切d=r1-r2；相交两个公共点r1-r2＜d＜r1+r2.（2）等腰三角形三线合一（中线,垂直平分线,角平分线） 11、一个正多边形的外接圆的圆心叫这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形的每一边所对的圆心角叫正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫正多边形的边心距. 12、（1）正n边形的内角和是（n-2）×1800,所以每一个内角为nn180*)2(−；（2）正n边形的中心角的和是360度,所以正n边形的一个中心角是n0360；（3）正n边形的中心角和外角的大小相等；（4）判断一个多边形是否是正多边形的条件：各边都相等；各内角都相等；（5）圆内接正三角形,正三角形半径r,边心距d,则d=21r；正四边形d=22r；正六边形d=23r；（6）正三角形半径r,边长x,x=3r；正四边形x=2r；正六边形x=r；（7）正三角形半径r,面积S,则S=343R2；正四边形S=2 R2；正六边形S=323R2. 13、圆的周长C=2πR,n°的圆心角所对的弧长为L=180Rnπ；圆的面积S=πR2,扇形的周长C=2R+L,扇形的面积①S=3602Rnπ；②S=21LR（L为扇形的弧长） 14、圆锥的侧面积S=21L×2πR=πRL（L为母线,R为底面圆半径）；圆锥的表面积（全面积）S=πRL+πR2