数学
初中数学二次函数的难题?有图的 。。。。 O(∩∩)O谢谢

2019-06-01

初中数学二次函数的难题?
有图的 。。。。 O(∩_∩)O谢谢
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【31. 2012娄底】
24.已知二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,与y轴交于点C,且满足.(1)求这个二次函数的解析式;
(2)探究:在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形?如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.
(1)∵二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,
令y=0,即x2﹣(m2﹣2)x﹣2m=0①,则有:
x1+x2=m2﹣2,x1x2=﹣2m.∴===,
化简得到:m2+m﹣2=0,解得m1=﹣2,m2=1.
当m=﹣2时,方程①为:x2﹣2x+4=0,其判别式△=b2﹣4ac=﹣12<0,此时抛物线与x轴没有交点,不符合题意,舍去;
当m=1时,方程①为:x2+x﹣2=0,其判别式△=b2﹣4ac=9>0,此时抛物线与x轴有两个不同的交点,符合题意.∴m=1,∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2.
(2)假设在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形.
如图所示,连接PA.PB.AC.BC,过点P作PD⊥x轴于D点.
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,
∴A(﹣2,0),B(1,0),C(0,2),∴OB=1,OC=2.
∵PACB为平行四边形,∴PA∥BC,PA=BC,∴∠PAD=∠CBO,∴∠APD=∠OCB.
在Rt△PAD与Rt△CBO中,∵,∴Rt△PAD≌Rt△CBO,
∴PD=OC=2,即yP=2,∴直线解析式为y=x+3,∴xP=﹣1,∴P(﹣1,2).
所以在直线y=x+3上存在一点P,使四边形PACB为平行四边形,P点坐标为(﹣1,2).
【32. 2012福州】
22.(满分14分)如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;
(3)如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).
A
B
D
O
x
y
第22题图①
A
B
D
O
x
y
第22题图②
N
(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,0)、B(4,4).
∴,解得:.∴抛物线的解析式是y=x2-3x.
(2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),
得:4=4k1,解得k1=1.∴直线OB的解析式为y=x.
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m.
∵点D在抛物线y=x2-3x上.
∴可设D(x,x2-3x).又点D在直线y=x-m上,
∴x2-3x=x-m,即x2-4x+m=0.
∵抛物线与直线只有一个公共点,∴△=16-4m=0,解得:m=4.
此时x1=x2=2,y=x2-3x=-2,∴D点坐标为(2,-2).
(3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3).
设直线A'B的解析式为y=k2x+3,过点B(4,4),
∴4k2+3=4,解得:k2=.∴直线A'B的解析式是y=x+3.
∵∠NBO=∠ABO,∴点N在直线A'B上,
D
A
B
O
x
y
N
图1
A'
P1
N1
P2
B1
∴设点N(n,n+3),又点N在抛物线y=x2-3x上,
∴n+3=n2-3n,
解得:n1=-,n2=4(不合题意,会去),∴点N的坐标为(-,).
方法一:如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,
则N1(-,-),B1(4,-4),∴O、D、B1都在直线y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB,
∴△P1OD∽△N1OB1,∴==,∴点P1的坐标为(-,-).
将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,).
图2
A'
N2
P1
P2
B2
A
B
D
O
x
y
N
综上所述,点P的坐标是(-,-)或(,).
方法二:如图2,将△NOB绕原点顺时针旋转90°,得到△N2OB2,
则N2(,),B2(4,-4),
∴O、D、B2都在直线y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N2OB2,
∴==,∴点P1的坐标为(,).
将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(-,-).
综上所述,点P的坐标是(-,-)或(,).

【33. 2012南昌】
27.如图,已知二次函数L1:y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.
(1)抛物线y=x2﹣4x+3中,a=1、b=﹣4、c=3;
∴﹣=﹣=2,==﹣1;
∴二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标(2,﹣1).
(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:
对称轴为x=2或定点的横坐标为2,都经过A(1,0),B(3,0)两点;
②线段EF的长度不会发生变化.
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,∴kx2﹣4kx+3k=8k,
∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8,
解得:x1=﹣1,x2=5,∴EF=x2﹣x1=6,∴线段EF的长度不会发生变化.
【34.2012•恩施州】
24.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.

(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,
,解得,故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3)得
,解得故直线AC为y=x+1;

(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),
故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+,
当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,则m=﹣×=;

(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2)
∵点E在直线AC上,
设E(x,x+1),
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3),
∵F在抛物线上,∴x+3=﹣x2+2x+3,
解得,x=0或x=1(舍去)∴E(0,1);
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,
则F(x,x﹣1)由F在抛物线上
∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=
∴E(,)或(,)
综上,满足条件的点E为E(0,1)、(,)或(,);

(4)方法一:过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,如图1
设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)
∴PQ=(﹣x2+2x+3)﹣(x﹣1)=﹣x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG
=(﹣x2+x+2)×3=﹣(x﹣)2+∴面积的最大值为.

方法二:过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图2,
设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=(x+1)(﹣x2+2x+3)+(﹣x2+2x+3+3)(2﹣x)﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣(x﹣)2+
∴△APC的面积的最大值为.
【35. 2012•兰州】
28.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.

(1)∵抛物线y=经过点B(0,4)∴c=4,
∵顶点在直线x=上,
∴;∴所求函数关系式为;

(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB=,
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,y=,
当x=2时,y=,
∴点C和点D都在所求抛物线上;

(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,则,
解得:,∴,
当x=时,y=,∴P(),

(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD,∴即得ON=,
设对称轴交x于点F,
则(PF+OM)•OF=(+t)×,
∵,
()×=,
S=(-),=-(0<t<4),S存在最大值.
由S=-(t-)2+,∴当S=时,S取最大值是,
此时,点M的坐标为(0,).
【36. 2012南通】
28.(本小题满分14分)
如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B(-0,0)和C,O为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;
(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.
【解答】(1)将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y=x2+bx+c中,得:
0+c=-4 1 2×4-2b+c=0 ,
解得:b=-1 c=-4
∴抛物线的解析式:y=x2-x-4.
(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:
y=(x+m)2-(x+m)-4+7 2,
即:y=x2+(m-1)x+12 m2-m-1 2;
它的顶点坐标P:(1-m,-1);
由(1)的抛物线解析式可得:C(4,0);
那么直线AB:y=-2x-4;直线AC:y=x-4;
当点P在直线AB上时,-2(1-m)-4=-1,解得:m=5 2;
当点P在直线AC上时,(1-m)-4=-1,解得:m=-2;
∴当点P在△ABC内时,-2<m<5 2;
又∵m>0,
∴符合条件的m的取值范围:0<m<5 2.
(3)由A(0,-4)、B(4,0)得:OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形;
如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°;
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,即∠ONB=∠OMB;
如图,在△ABN、△AM1B中,
∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得:AB2=AN•AM1;
易得:AB2=(-2)2+42=20,AN=OA-ON=4-2=2;
∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6;
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,
∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2.
综上,AM的长为6或2.
【36. 2012常德】
25、如图11,已知二次函数的图像过点A(-4,3),B(4,4).
(1)求二次函数的解析式:
(2)求证:△ACB是直角三角形;
(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请
说明理由.
(1)将A(-4,3),B(4,4)代人中,整理得:
解得
∴二次函数的解析式为: ,
整理得:
(2)由 整理
∴X1=-2 ,X2= ∴C(-2,0)D
从而有:AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65
∴AC2+ BC2=AB2 故△ACB是直角三角形
(3)设 (X
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【31. 2012娄底】
24.已知二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,与y轴交于点C,且满足.(1)求这个二次函数的解析式;
(2)探究:在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形?如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.
(1)∵二次函数y=x2﹣(m2﹣2)x﹣2m的图象与x轴交于点A(x1,0)和点B(x2,0),x1<x2,
令y=0,即x2﹣(m2﹣2)x﹣2m=0①,则有:
x1+x2=m2﹣2,x1x2=﹣2m.∴===,
化简得到:m2+m﹣2=0,解得m1=﹣2,m2=1.
当m=﹣2时,方程①为:x2﹣2x+4=0,其判别式△=b2﹣4ac=﹣12<0,此时抛物线与x轴没有交点,不符合题意,舍去;
当m=1时,方程①为:x2+x﹣2=0,其判别式△=b2﹣4ac=9>0,此时抛物线与x轴有两个不同的交点,符合题意.∴m=1,∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2.
(2)假设在直线y=x+3上是否存在一点P,使四边形PACB为平行四边形.
如图所示,连接PA.PB.AC.BC,过点P作PD⊥x轴于D点.
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,
∴A(﹣2,0),B(1,0),C(0,2),∴OB=1,OC=2.
∵PACB为平行四边形,∴PA∥BC,PA=BC,∴∠PAD=∠CBO,∴∠APD=∠OCB.
在Rt△PAD与Rt△CBO中,∵,∴Rt△PAD≌Rt△CBO,
∴PD=OC=2,即yP=2,∴直线解析式为y=x+3,∴xP=﹣1,∴P(﹣1,2).
所以在直线y=x+3上存在一点P,使四边形PACB为平行四边形,P点坐标为(﹣1,2).
【32. 2012福州】
22.(满分14分)如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;
(3)如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).
A
B
D
O
x
y
第22题图①
A
B
D
O
x
y
第22题图②
N
(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,0)、B(4,4).
∴,解得:.∴抛物线的解析式是y=x2-3x.
(2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),
得:4=4k1,解得k1=1.∴直线OB的解析式为y=x.
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m.
∵点D在抛物线y=x2-3x上.
∴可设D(x,x2-3x).又点D在直线y=x-m上,
∴x2-3x=x-m,即x2-4x+m=0.
∵抛物线与直线只有一个公共点,∴△=16-4m=0,解得:m=4.
此时x1=x2=2,y=x2-3x=-2,∴D点坐标为(2,-2).
(3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3).
设直线A'B的解析式为y=k2x+3,过点B(4,4),
∴4k2+3=4,解得:k2=.∴直线A'B的解析式是y=x+3.
∵∠NBO=∠ABO,∴点N在直线A'B上,
D
A
B
O
x
y
N
图1
A'
P1
N1
P2
B1
∴设点N(n,n+3),又点N在抛物线y=x2-3x上,
∴n+3=n2-3n,
解得:n1=-,n2=4(不合题意,会去),∴点N的坐标为(-,).
方法一:如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,
则N1(-,-),B1(4,-4),∴O、D、B1都在直线y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB,
∴△P1OD∽△N1OB1,∴==,∴点P1的坐标为(-,-).
将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,).
图2
A'
N2
P1
P2
B2
A
B
D
O
x
y
N
综上所述,点P的坐标是(-,-)或(,).
方法二:如图2,将△NOB绕原点顺时针旋转90°,得到△N2OB2,
则N2(,),B2(4,-4),
∴O、D、B2都在直线y=-x上.
∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N2OB2,
∴==,∴点P1的坐标为(,).
将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(-,-).
综上所述,点P的坐标是(-,-)或(,).

【33. 2012南昌】
27.如图,已知二次函数L1:y=x2﹣4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)研究二次函数L2:y=kx2﹣4kx+3k(k≠0).
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.
(1)抛物线y=x2﹣4x+3中,a=1、b=﹣4、c=3;
∴﹣=﹣=2,==﹣1;
∴二次函数L1的开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标(2,﹣1).
(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:
对称轴为x=2或定点的横坐标为2,都经过A(1,0),B(3,0)两点;
②线段EF的长度不会发生变化.
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,∴kx2﹣4kx+3k=8k,
∵k≠0,∴x2﹣4x+3=8,
解得:x1=﹣1,x2=5,∴EF=x2﹣x1=6,∴线段EF的长度不会发生变化.
【34.2012•恩施州】
24.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.

(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,
,解得,故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3)得
,解得故直线AC为y=x+1;

(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),
故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+,
当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,则m=﹣×=;

(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2)
∵点E在直线AC上,
设E(x,x+1),
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3),
∵F在抛物线上,∴x+3=﹣x2+2x+3,
解得,x=0或x=1(舍去)∴E(0,1);
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,
则F(x,x﹣1)由F在抛物线上
∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=
∴E(,)或(,)
综上,满足条件的点E为E(0,1)、(,)或(,);

(4)方法一:过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,如图1
设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)
∴PQ=(﹣x2+2x+3)﹣(x﹣1)=﹣x2+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG
=(﹣x2+x+2)×3=﹣(x﹣)2+∴面积的最大值为.

方法二:过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图2,
设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=(x+1)(﹣x2+2x+3)+(﹣x2+2x+3+3)(2﹣x)﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣(x﹣)2+
∴△APC的面积的最大值为.
【35. 2012•兰州】
28.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.

(1)∵抛物线y=经过点B(0,4)∴c=4,
∵顶点在直线x=上,
∴;∴所求函数关系式为;

(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB=,
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,y=,
当x=2时,y=,
∴点C和点D都在所求抛物线上;

(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,则,
解得:,∴,
当x=时,y=,∴P(),

(4)∵MN∥BD,∴△OMN∽△OBD,∴即得ON=,
设对称轴交x于点F,
则(PF+OM)•OF=(+t)×,
∵,
()×=,
S=(-),=-(0<t<4),S存在最大值.
由S=-(t-)2+,∴当S=时,S取最大值是,
此时,点M的坐标为(0,).
【36. 2012南通】
28.(本小题满分14分)
如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B(-0,0)和C,O为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;
(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.
【解答】(1)将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y=x2+bx+c中,得:
0+c=-4 1 2×4-2b+c=0 ,
解得:b=-1 c=-4
∴抛物线的解析式:y=x2-x-4.
(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:
y=(x+m)2-(x+m)-4+7 2,
即:y=x2+(m-1)x+12 m2-m-1 2;
它的顶点坐标P:(1-m,-1);
由(1)的抛物线解析式可得:C(4,0);
那么直线AB:y=-2x-4;直线AC:y=x-4;
当点P在直线AB上时,-2(1-m)-4=-1,解得:m=5 2;
当点P在直线AC上时,(1-m)-4=-1,解得:m=-2;
∴当点P在△ABC内时,-2<m<5 2;
又∵m>0,
∴符合条件的m的取值范围:0<m<5 2.
(3)由A(0,-4)、B(4,0)得:OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形;
如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°;
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,即∠ONB=∠OMB;
如图,在△ABN、△AM1B中,
∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得:AB2=AN•AM1;
易得:AB2=(-2)2+42=20,AN=OA-ON=4-2=2;
∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6;
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,
∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2.
综上,AM的长为6或2.
【36. 2012常德】
25、如图11,已知二次函数的图像过点A(-4,3),B(4,4).
(1)求二次函数的解析式:
(2)求证:△ACB是直角三角形;
(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请
说明理由.
(1)将A(-4,3),B(4,4)代人中,整理得:
解得
∴二次函数的解析式为: ,
整理得:
(2)由 整理
∴X1=-2 ,X2= ∴C(-2,0)D
从而有:AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65
∴AC2+ BC2=AB2 故△ACB是直角三角形
(3)设 (X
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