设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且limx→+∞f(x)=2,证明(1)存在a>0,使得f(a)=1;(2)对(1)中的a,存在ξ∈(0,a),使得f′(ξ)=1a.
2020-02-07
设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且f(x)=2,证明
(1)存在a>0,使得f(a)=1;
(2)对(1)中的a,存在ξ∈(0,a),使得f′(ξ)=.
优质解答
证明:
(1)由于f(x)=2,所以对∀ɛ>0,∃X>0,当x>X时,2-ɛ<f(x)<2+ɛ恒成立,令ɛ=,则有<f(x)<
又由于f(x)在[0,+∞)上连续,且f(0)=0,由介值定理,存在a>0,使得f(a)=1;
(2)函数f(x)在[0,a]上可导,由拉格朗日中值定理,
存在ξ∈(0,a),使得f′(ξ)==.
证明:
(1)由于f(x)=2,所以对∀ɛ>0,∃X>0,当x>X时,2-ɛ<f(x)<2+ɛ恒成立,令ɛ=,则有<f(x)<
又由于f(x)在[0,+∞)上连续,且f(0)=0,由介值定理,存在a>0,使得f(a)=1;
(2)函数f(x)在[0,a]上可导,由拉格朗日中值定理,
存在ξ∈(0,a),使得f′(ξ)==.