初二几何证明题已知三角形ABC,角平分线AE,BF,CG,相交于点H,过点H作垂线交BC于D,求证角CHD=角BHE.
2019-06-20
初二几何证明题
已知三角形ABC,角平分线AE,BF,CG,相交于点H,过点H作垂线交BC于D,求证角CHD=角BHE.
优质解答
∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
即∠BAE+∠EAC+∠ACG+∠GCB+∠CBF+∠FBA=180°
又AE,BF,CG分别为三角形ABC的角平分线
∴∠BAE=∠EAC,∠ACG=∠GCB,∠CBF=∠FBA
∴2（∠BAE+∠GCB+∠FBA）=180°
∴∠BAE+∠GCB+∠FBA=90°
∴90°-∠GCB=∠FBA+∠BAE
∴∠CHD+∠GCB=90°（HD⊥BC）
∴90°-∠GCB=∠CHD
∴∠FBA+∠BAE=∠CHD
又∠FBA+∠BAE=∠BHE（外角和定理）
∴∠BHE=∠CHD
∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
即∠BAE+∠EAC+∠ACG+∠GCB+∠CBF+∠FBA=180°
又AE,BF,CG分别为三角形ABC的角平分线
∴∠BAE=∠EAC,∠ACG=∠GCB,∠CBF=∠FBA
∴2（∠BAE+∠GCB+∠FBA）=180°
∴∠BAE+∠GCB+∠FBA=90°
∴90°-∠GCB=∠FBA+∠BAE
∴∠CHD+∠GCB=90°（HD⊥BC）
∴90°-∠GCB=∠CHD
∴∠FBA+∠BAE=∠CHD
又∠FBA+∠BAE=∠BHE（外角和定理）
∴∠BHE=∠CHD