数学
某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．（1）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求ξ的分布列及期望，方差．

2019-04-03

某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．
（1）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；
（2）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求ξ的分布列及期望，方差．
优质解答
（本题满分12分）
（1）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：
p1=
C
2
4
C
2
3
A
2
2
43
=
9
16
．（4分）
（2）设数学史这门课这3个学生选择的人数为ξ，
则ξ=0，1，2，3
P （ξ=0 ）=(
3
4
)3=
27
64
，
P（ξ=1）=
C
1
3
×
1
4
×(
3
4
)2=
27
64
，
P （ξ=2 ）=
C
2
3
×(
1
4
)2×
3
4
=
9
64
，
P （ξ=3 ）=(
1
4
)3=
1
64
，（8分）
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
27
64
27
64
9
64
1
64
∴期望Eξ=np=3×
1
4
=
3
4
，Dξ=3×
1
4
×
3
4
=
9
16
．（12分） （本题满分12分）
（1）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：
p1=
C
2
4
C
2
3
A
2
2
43
=
9
16
．（4分）
（2）设数学史这门课这3个学生选择的人数为ξ，
则ξ=0，1，2，3
P （ξ=0 ）=(
3
4
)3=
27
64
，
P（ξ=1）=
C
1
3
×
1
4
×(
3
4
)2=
27
64
，
P （ξ=2 ）=
C
2
3
×(
1
4
)2×
3
4
=
9
64
，
P （ξ=3 ）=(
1
4
)3=
1
64
，（8分）
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
27
64
27
64
9
64
1
64
∴期望Eξ=np=3×
1
4
=
3
4
，Dξ=3×
1
4
×
3
4
=
9
16
．（12分）
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