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平行线的判定公理（定理） （1）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行（简称“同位角相等,两直线平行”）． （2）两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行（简称“内错角相等,两直线平行”）． （3）两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行（简称“同旁内角互补,两直线平行”）． 2．平行线的性质公理（定理） 如果两条平行线被第三条直线所截,那么 （1）同位角相等（简称“两直线平行,同位角相等”）． （2）内错角相等（简称“两直线平行,内错角相等”）． （3）同旁内角含有未知数的等式叫方程. 等式的基本性质1：等式两边同时加〔或减〕同一个数或同一个代数式,所得的结果仍是等式. 用字母表示为：若a＝b,c为一个数或一个代数式.则： 〔1〕a+c＝b+c 〔2〕a-c＝b-c 等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的的数所得的结果仍是等式. 3若a=b,则b=a（等式的对称性）. 4若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）. 【方程的一些概念】 方程的使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 移项：把方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项,根据是等式的基本性质1. 方程有整式方程和分式方程. 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 编辑本段一元一次方程 人教版7年级数学上册第四章会学到,冀教版7年级数学下册第七章会学到. 定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程.通常形式是kx+b=0(k,b为常数,且k≠0）. 一般解法： ⒈去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数. ⒉去括号 一般先去小括号,在去中括号,最后去大括号,可根据乘法分配率. ⒊移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边,其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号. ⒋合并同类项 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式. ⒌系数化1 方程两边同时除以未知数的系数,得出方程的解. 同解方程：如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程. 方程的同解原理： ⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程. ⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程. 做一元一次方程应用题的重要方法： ⒈认真审题 ⒉分析已知和未知的量 ⒊找一个等量关系 ⒋列方程 ⒌解方程 ⒍检验 ⒎写出答 例1 某数的3倍减2等于某数与4的和,求某数． (首先,用算术方法解,由学生回答,教师板书) 解法1：(4+2)÷(3-1)=3． 答：某数为3． (其次,用代数方法来解,教师引导,学生口述完成) 解法2：设某数为x,则有3x-2=x+4． 解之,得x=3． 答：某数为3． 纵观例1的这两种解法,很明显,算术方法不易思考,而应用设未知数,列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,有一种化难为易之感,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一． 我们知道方程是一个含有未知数的等式,而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件,应首先从中找出一个相等关系,然后再将这个相等关系表示成方程． 本节课,我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤． 二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤 例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后,还剩余42 500千克,这个仓库原来有多少面粉? 师生共同分析： 1．本题中给出的已知量和未知量各是什么? 2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系?(原来重量-运出重量=剩余重量) 3．若设原来面粉有x千克,则运出面粉可表示为多少千克?利用上述相等关系,如何布列方程? 上述分析过程可列表如下： 设原来有x千克面粉,那么运出了15％x千克,由题意,得 x-15％x=42 500, 所以 x=50 000． 答：原来有 50 000千克面粉． 此时,让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外,是否还有其他表达形式?若有,是什么? (还有,原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量) 教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”,虽形式上不同,但实质是一样的,可以任意选择其中的一个相等关系来列方程； (2)例2的解方程过程较为简捷,同学应注意模仿． 依据例2的分析与解答过程,首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后,采取提问的方式,进行反馈；最后,根据学生总结的情况,教师总结如下： (1)仔细审题,透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系,并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数； (2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．(这是关键一步)； (3)根据相等关系,正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用,不能漏也不能将一个条件重复利用等； (4)求出所列方程的解； (5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是,检验所求出的解既能使方程成立,又能使应用题有意义． 编辑本段二元一次方程（组） 人教版7年级数学下册会学到,冀教版7年级数学下册第九章会学到. 二元一次方程定义：一个含有两个未知数,并且未知数的都指数是1的整式方程,叫二元一次方程. 二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程,叫二元一次方程组. 二元一次方程的使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 二元一次方程组的二元一次方程组的两个公共解,叫做二元一次方程组的解. 一般解法,消元：将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决. 消元的方法有两种： 代入消元法 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 由①得x=5-y③ 把③带入②,得6(5-y)+13y=89,解得y=59/7 把y=59/7带入③,得x=5-59/7,即x=-24/7 ∴x=-24/7,y=59/7 这种解法就是代入消元法. 加减消元法 例：解方程组x+y=5① x-y=9② ①+②,得2x=14,即x=7 把x=7带入①,得7+y=5,解得y=-2 ∴x=7,y=-2 这种解法就是加减消元法. 二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89②的解为x=-24/7,y=59/7. 2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12②,因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”),所以此类方程组有无数组解. 3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②,因为方程②化简后为x+y=5,这与方程①相矛盾,所以此类方程组无解. 编辑本段三元一次方程 定义：与二元一次方程类似,三个结合在一起的共含有三个未知数的一次方程. 三元一次方程组的解法：与二元一次方程类似,利用消元法逐步消元. 典型题析： 某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费.某月甲用户比乙用户多缴水费16元,乙用户比丙用户多缴水费7.5元.已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲.乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)? 设甲用水x吨,乙用水y吨,丙用水z吨 显然,甲用户用水超过了20吨 故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23 乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-7 丙缴费：0.9z 2.4x-23=1.6y-7+16 1.6y-7=0.9z+7.5 化简得 3x-2y=40－－－－(1) 16y-9z=145-------(2) 由(1)得x=(2y+40)/3 所以设y=1+3k,30 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让 两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个 根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解. (2)2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0,x2=-是原方程的解. 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解. (3)6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解. (4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解. 二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程. 编辑本段附注 一般地,n元一次方程就是含有n个未知数,且含未知数项次数是1的方程,一次项系数规定不等于0； n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）； 一元a次方程就是含有一个未知数,且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）； 一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）； n元a次方程就是含有n个未知数,且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）； n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）； 方程（组）中,未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组）,此类方程（组）一般有无数个解. 互补（简称“两直线平行,同旁内角互补”）
平行线的判定公理（定理） （1）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行（简称“同位角相等,两直线平行”）． （2）两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行（简称“内错角相等,两直线平行”）． （3）两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行（简称“同旁内角互补,两直线平行”）． 2．平行线的性质公理（定理） 如果两条平行线被第三条直线所截,那么 （1）同位角相等（简称“两直线平行,同位角相等”）． （2）内错角相等（简称“两直线平行,内错角相等”）． （3）同旁内角含有未知数的等式叫方程. 等式的基本性质1：等式两边同时加〔或减〕同一个数或同一个代数式,所得的结果仍是等式. 用字母表示为：若a＝b,c为一个数或一个代数式.则： 〔1〕a+c＝b+c 〔2〕a-c＝b-c 等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的的数所得的结果仍是等式. 3若a=b,则b=a（等式的对称性）. 4若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）. 【方程的一些概念】 方程的使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 移项：把方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项,根据是等式的基本性质1. 方程有整式方程和分式方程. 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 编辑本段一元一次方程 人教版7年级数学上册第四章会学到,冀教版7年级数学下册第七章会学到. 定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程.通常形式是kx+b=0(k,b为常数,且k≠0）. 一般解法： ⒈去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数. ⒉去括号 一般先去小括号,在去中括号,最后去大括号,可根据乘法分配率. ⒊移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边,其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号. ⒋合并同类项 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式. ⒌系数化1 方程两边同时除以未知数的系数,得出方程的解. 同解方程：如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程. 方程的同解原理： ⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程. ⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程. 做一元一次方程应用题的重要方法： ⒈认真审题 ⒉分析已知和未知的量 ⒊找一个等量关系 ⒋列方程 ⒌解方程 ⒍检验 ⒎写出答 例1 某数的3倍减2等于某数与4的和,求某数． (首先,用算术方法解,由学生回答,教师板书) 解法1：(4+2)÷(3-1)=3． 答：某数为3． (其次,用代数方法来解,教师引导,学生口述完成) 解法2：设某数为x,则有3x-2=x+4． 解之,得x=3． 答：某数为3． 纵观例1的这两种解法,很明显,算术方法不易思考,而应用设未知数,列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,有一种化难为易之感,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一． 我们知道方程是一个含有未知数的等式,而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件,应首先从中找出一个相等关系,然后再将这个相等关系表示成方程． 本节课,我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤． 二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤 例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后,还剩余42 500千克,这个仓库原来有多少面粉? 师生共同分析： 1．本题中给出的已知量和未知量各是什么? 2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系?(原来重量-运出重量=剩余重量) 3．若设原来面粉有x千克,则运出面粉可表示为多少千克?利用上述相等关系,如何布列方程? 上述分析过程可列表如下： 设原来有x千克面粉,那么运出了15％x千克,由题意,得 x-15％x=42 500, 所以 x=50 000． 答：原来有 50 000千克面粉． 此时,让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外,是否还有其他表达形式?若有,是什么? (还有,原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量) 教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”,虽形式上不同,但实质是一样的,可以任意选择其中的一个相等关系来列方程； (2)例2的解方程过程较为简捷,同学应注意模仿． 依据例2的分析与解答过程,首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后,采取提问的方式,进行反馈；最后,根据学生总结的情况,教师总结如下： (1)仔细审题,透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系,并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数； (2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．(这是关键一步)； (3)根据相等关系,正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用,不能漏也不能将一个条件重复利用等； (4)求出所列方程的解； (5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是,检验所求出的解既能使方程成立,又能使应用题有意义． 编辑本段二元一次方程（组） 人教版7年级数学下册会学到,冀教版7年级数学下册第九章会学到. 二元一次方程定义：一个含有两个未知数,并且未知数的都指数是1的整式方程,叫二元一次方程. 二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程,叫二元一次方程组. 二元一次方程的使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 二元一次方程组的二元一次方程组的两个公共解,叫做二元一次方程组的解. 一般解法,消元：将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决. 消元的方法有两种： 代入消元法 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 由①得x=5-y③ 把③带入②,得6(5-y)+13y=89,解得y=59/7 把y=59/7带入③,得x=5-59/7,即x=-24/7 ∴x=-24/7,y=59/7 这种解法就是代入消元法. 加减消元法 例：解方程组x+y=5① x-y=9② ①+②,得2x=14,即x=7 把x=7带入①,得7+y=5,解得y=-2 ∴x=7,y=-2 这种解法就是加减消元法. 二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89②的解为x=-24/7,y=59/7. 2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12②,因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”),所以此类方程组有无数组解. 3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②,因为方程②化简后为x+y=5,这与方程①相矛盾,所以此类方程组无解. 编辑本段三元一次方程 定义：与二元一次方程类似,三个结合在一起的共含有三个未知数的一次方程. 三元一次方程组的解法：与二元一次方程类似,利用消元法逐步消元. 典型题析： 某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费.某月甲用户比乙用户多缴水费16元,乙用户比丙用户多缴水费7.5元.已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲.乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)? 设甲用水x吨,乙用水y吨,丙用水z吨 显然,甲用户用水超过了20吨 故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23 乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-7 丙缴费：0.9z 2.4x-23=1.6y-7+16 1.6y-7=0.9z+7.5 化简得 3x-2y=40－－－－(1) 16y-9z=145-------(2) 由(1)得x=(2y+40)/3 所以设y=1+3k,30 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让 两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个 根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解. (2)2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0,x2=-是原方程的解. 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解. (3)6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解. (4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解. 二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程. 编辑本段附注 一般地,n元一次方程就是含有n个未知数,且含未知数项次数是1的方程,一次项系数规定不等于0； n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）； 一元a次方程就是含有一个未知数,且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）； 一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）； n元a次方程就是含有n个未知数,且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）； n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）； 方程（组）中,未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组）,此类方程（组）一般有无数个解. 互补（简称“两直线平行,同旁内角互补”）