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三角函数（Trigonometric function）.
尽管三角知识起源于远古,但是用线段的比来定义三角函数,是欧拉（1707-1783）在《无穷0小分析引论》一书中首次给出的.在欧拉之前,研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的.如古希腊的托勒密定半径为60；印度
人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107.因此,当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长.
意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法,即过去一般称AB为 的正弦,把正弦与圆牢牢地连结在一起,
而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦,从而使正弦值直接与角挂勾,而使圆O成为从属地位了.
到欧拉(Euler)时,才令圆的半径为1,即置角于单位圆之中,从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比.
正弦、余弦
正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与证明的.中亚细亚人艾伯塔鲁尼﹝973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个证明.
也有说正弦定理的证明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述,首次清楚地论证了正弦定理.他还指出,由球面三角形的三个角,可以求得它的三个边,或由三边去求三个角.
这是区别球面三角与平面三角的重要标志.至此三角学开始脱离天文学,走上独立发展的道路.
托勒密（ Claudius Ptolemy
）的《天文学大成》第一卷除了一些初级的天文学数据之外,还包括了上面讲的弦表.
它给出一个圆从 （1/2）°
到180°每隔半度的所有圆心角所对的弦的长度.圆的半径被分为60等分,弦长以每一等分为单位,以六十进制制表达.这样,以符号 crda 表示圆心角a所对的弦长,
例如 crd 36°= 37p4'55",意思是：36° 圆心角的弦等于半径的 （或37个小部分）,加上一个小部分的 ,再加上一个小部分的 ,从下图看出,
弦表等价于正弦函数表
公元6世纪初,印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3°45'的正弦表,依照巴比伦人和希腊人的习惯,将圆周分为360度,每度为60分,整个圆周为21600份,然后据
2πr=216000,得出r=3438﹝近似值﹞,然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后,再用半角公式算出较小角的正弦值,从而获得每隔3°45'的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周,孕育着最早的弧度制概念.他在计算正弦值的时候,取圆心角所对弧的半弦长,比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念.印度人还用到正矢和余弦,并给出一些三角函数的近似分数式.
2.正切、余切
著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929﹞于920年左右,制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表.
公元727年,僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》.为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ,一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表,
而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent﹞函数 .而巴坦尼编制的是余切函数表,
而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角,这样两人的发现实际上是一回事,但巴坦尼比一行要晚近200年.
14世纪中叶,中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞,原是成吉思汗的后裔,他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算.他的正弦表精确到小数9位.他还制造了30°到45°之间相隔为1',45°到90°的相隔为5'的正切表.
在欧洲,英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290?-1349﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中.
3.正割、余割
正割﹝secant﹞及余割﹝cosecant﹞这两个概念由阿布尔─威发首先引入. sec这个略号是1626年荷兰数基拉德﹝1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用,后经欧拉采用才得以通行.正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的.
欧洲的「文艺复兴时期」,﹝14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地动学说,他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密,认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓.于是他定圆的半径为1015,以制作每隔10"的正弦、正切及正割值表.当时还没有对数,更没有计算器.全靠笔算,任务十分繁重.利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志,勤奋工作达12年之久,遗憾的是,他生前没能完成这项工作,直到1596年,才由他的学生鄂图﹝1550-1605﹞完成并公布于世,1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修订了利提克斯的三角函数表,重新再版.后来英国数学家纳皮尔发现了对数,这就大大地简化了三角计算,为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件.
4.三角函数符号
毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号, 但当时并无
函数概念,于是只称作三角线（ trigonometric
lines）.他以sinus 1m arcus 表示正弦,以sinus 2m arcus表示余弦.
而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克.他于1583年创立以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相应之概念,其后他分别以符号“sin.”,“tan.
”, “sec. ”,“sin. com”,“tan. com”,“ sec.
com”表示正弦,正切,正割,余弦,余切,余割,首三个符号与现代之符号相同.后来的符号多有变化,下列的表便显示了它们之发展变化.
使用者 年代
正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 备注
罗格蒙格斯 1622 S.R. T. (Tang) T. c pl Sec Sec.Compl
吉拉尔
1626 tan sec.
杰克 1696 s. cos. t. cot. sec. cosec.
欧拉 1753 sin. cos.
tag(tg). cot. sec. cosec
谢格内 1767 sin. cos. tan. cot. Ⅰ
巴洛 1814 sin cos.
tan. cot. sec cosec Ⅰ
施泰纳 1827 tg Ⅱ
皮尔斯 1861 sin cos. tan. cotall sec
cosec
奥莱沃尔 1881 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
申弗利斯 1886 tg ctg Ⅱ
万特沃斯
1897 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
舍费尔斯 1921 sin cos tg ctg sec csc Ⅱ
注：Ⅰ－现代（欧洲）大陆派三角函数符 Ⅱ－现代英美派三角函数符号
我国现正采用Ⅰ类三角函数符号.
1729年,丹尼尔．伯努利是先以符号表示反三角函数,如以AS表示反正弦.1736年欧拉以At 表示反正切,一年后又以Asin 表示
于单位圆上正弦值相等于 的弧.
1772年,C．申费尔以arc. tang. 表示反正切；同年,拉格朗日采以
表示反正弦函数.1776年,兰伯特则以arc.
sin表示同样意思.1794年,鲍利以Arc.sin表示反正弦函数.其后这些记法逐渐得到普及,去掉符号中之小点,便成现今通用之符号,如arc sin x,arc
cos x 等.于三角函数前加arc表示反三角函数,而有时则改以于三角函数前加大写字母开头Arc,以表示反三角函数之主值.
另一较常用之反三角函数符号如sin-1x
,tan-1x等,是赫谢尔于1813年开始采用的,把反三角函数符号与反函数符号统一起来,至今亦有应用.
1.诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(π2-a)=cos(a)
cos(π2-a)=sin(a)
sin(π2+a)=cos(a)
cos(π2+a)=-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)=-sin(a)
cos(π+a)=-cos(a)
2.两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)
3.和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)
sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)
cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) }
cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b/2
至于泰勒级数和傅立叶级数,那不是三言两语就说得清楚的,这要你学了高等数学中的级数后你就会明白的了.
三角函数（Trigonometric function）.
尽管三角知识起源于远古,但是用线段的比来定义三角函数,是欧拉（1707-1783）在《无穷0小分析引论》一书中首次给出的.在欧拉之前,研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的.如古希腊的托勒密定半径为60；印度
人阿耶波多（约476-550）定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯（1436-1476）为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107.因此,当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长.
意大利数学家利提克斯（1514-1574）改变了前人的做法,即过去一般称AB为 的正弦,把正弦与圆牢牢地连结在一起,
而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦,从而使正弦值直接与角挂勾,而使圆O成为从属地位了.
到欧拉(Euler)时,才令圆的半径为1,即置角于单位圆之中,从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比.
正弦、余弦
正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与证明的.中亚细亚人艾伯塔鲁尼﹝973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个证明.
也有说正弦定理的证明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述,首次清楚地论证了正弦定理.他还指出,由球面三角形的三个角,可以求得它的三个边,或由三边去求三个角.
这是区别球面三角与平面三角的重要标志.至此三角学开始脱离天文学,走上独立发展的道路.
托勒密（ Claudius Ptolemy
）的《天文学大成》第一卷除了一些初级的天文学数据之外,还包括了上面讲的弦表.
它给出一个圆从 （1/2）°
到180°每隔半度的所有圆心角所对的弦的长度.圆的半径被分为60等分,弦长以每一等分为单位,以六十进制制表达.这样,以符号 crda 表示圆心角a所对的弦长,
例如 crd 36°= 37p4'55",意思是：36° 圆心角的弦等于半径的 （或37个小部分）,加上一个小部分的 ,再加上一个小部分的 ,从下图看出,
弦表等价于正弦函数表
公元6世纪初,印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3°45'的正弦表,依照巴比伦人和希腊人的习惯,将圆周分为360度,每度为60分,整个圆周为21600份,然后据
2πr=216000,得出r=3438﹝近似值﹞,然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后,再用半角公式算出较小角的正弦值,从而获得每隔3°45'的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周,孕育着最早的弧度制概念.他在计算正弦值的时候,取圆心角所对弧的半弦长,比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念.印度人还用到正矢和余弦,并给出一些三角函数的近似分数式.
2.正切、余切
著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝850-929﹞于920年左右,制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表.
公元727年,僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》.为了求得全国任何一地方一年中各节气的日影长度 ,一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表,
而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝tangent﹞函数 .而巴坦尼编制的是余切函数表,
而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角,这样两人的发现实际上是一回事,但巴坦尼比一行要晚近200年.
14世纪中叶,中亚细亚的阿鲁伯﹝1393-1449﹞,原是成吉思汗的后裔,他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算.他的正弦表精确到小数9位.他还制造了30°到45°之间相隔为1',45°到90°的相隔为5'的正切表.
在欧洲,英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝1290?-1349﹞首先把正切、余切引入他的三角计算之中.
3.正割、余割
正割﹝secant﹞及余割﹝cosecant﹞这两个概念由阿布尔─威发首先引入. sec这个略号是1626年荷兰数基拉德﹝1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用,后经欧拉采用才得以通行.正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的.
欧洲的「文艺复兴时期」,﹝14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝1473-1543﹞提倡地动学说,他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密,认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓.于是他定圆的半径为1015,以制作每隔10"的正弦、正切及正割值表.当时还没有对数,更没有计算器.全靠笔算,任务十分繁重.利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志,勤奋工作达12年之久,遗憾的是,他生前没能完成这项工作,直到1596年,才由他的学生鄂图﹝1550-1605﹞完成并公布于世,1613年海得堡的彼提克斯﹝1561-1613﹞又修订了利提克斯的三角函数表,重新再版.后来英国数学家纳皮尔发现了对数,这就大大地简化了三角计算,为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件.
4.三角函数符号
毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号, 但当时并无
函数概念,于是只称作三角线（ trigonometric
lines）.他以sinus 1m arcus 表示正弦,以sinus 2m arcus表示余弦.
而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克.他于1583年创立以“tangent”（正切）及“secant”（正割）表示相应之概念,其后他分别以符号“sin.”,“tan.
”, “sec. ”,“sin. com”,“tan. com”,“ sec.
com”表示正弦,正切,正割,余弦,余切,余割,首三个符号与现代之符号相同.后来的符号多有变化,下列的表便显示了它们之发展变化.
使用者 年代
正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 备注
罗格蒙格斯 1622 S.R. T. (Tang) T. c pl Sec Sec.Compl
吉拉尔
1626 tan sec.
杰克 1696 s. cos. t. cot. sec. cosec.
欧拉 1753 sin. cos.
tag(tg). cot. sec. cosec
谢格内 1767 sin. cos. tan. cot. Ⅰ
巴洛 1814 sin cos.
tan. cot. sec cosec Ⅰ
施泰纳 1827 tg Ⅱ
皮尔斯 1861 sin cos. tan. cotall sec
cosec
奥莱沃尔 1881 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
申弗利斯 1886 tg ctg Ⅱ
万特沃斯
1897 sin cos tan cot sec csc Ⅰ
舍费尔斯 1921 sin cos tg ctg sec csc Ⅱ
注：Ⅰ－现代（欧洲）大陆派三角函数符 Ⅱ－现代英美派三角函数符号
我国现正采用Ⅰ类三角函数符号.
1729年,丹尼尔．伯努利是先以符号表示反三角函数,如以AS表示反正弦.1736年欧拉以At 表示反正切,一年后又以Asin 表示
于单位圆上正弦值相等于 的弧.
1772年,C．申费尔以arc. tang. 表示反正切；同年,拉格朗日采以
表示反正弦函数.1776年,兰伯特则以arc.
sin表示同样意思.1794年,鲍利以Arc.sin表示反正弦函数.其后这些记法逐渐得到普及,去掉符号中之小点,便成现今通用之符号,如arc sin x,arc
cos x 等.于三角函数前加arc表示反三角函数,而有时则改以于三角函数前加大写字母开头Arc,以表示反三角函数之主值.
另一较常用之反三角函数符号如sin-1x
,tan-1x等,是赫谢尔于1813年开始采用的,把反三角函数符号与反函数符号统一起来,至今亦有应用.
1.诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(π2-a)=cos(a)
cos(π2-a)=sin(a)
sin(π2+a)=cos(a)
cos(π2+a)=-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π+a)=-sin(a)
cos(π+a)=-cos(a)
2.两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)
3.和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)
sin(a)−sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)
cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) }
cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b/2
至于泰勒级数和傅立叶级数,那不是三言两语就说得清楚的,这要你学了高等数学中的级数后你就会明白的了.