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某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势；现有三种函数模型．①f（x）=pqx，②f（x）=logqx+q，③f（x）=（x-1）（x-q）2+q（其中p，q为正常数，且q＞2）．较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选作为模拟函数；若f（1）=4，f（3）=6，求出所选函数f（x）的解析式．

2019-05-04

某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势；现有三种函数模型．①f（x）=pqx，②f（x）=logqx+q，③f（x）=（x-1）（x-q）2+q（其中p，q为正常数，且q＞2）．较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选______作为模拟函数；若f（1）=4，f（3）=6，求出所选函数f（x）的解析式______．
优质解答
（1）因为f（x）=pqx，f（x）=logqx+q是单调函数，f（x）=（x-1）（x-q）2+q中，
f′（x）=3x2-（4q+2）+q2+2q，令f′（x）=0，得x=q，x=
q+2
3
，f（x）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f（x）=（x-1）（x-q）2+p为其成绩模拟函数．
（2）①由f（1）=4，f（3）=6，得
p＝4
2(3−q)2
又q＞2
+p＝6得
p＝4
q＝4

f（x）=x3+9x2+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．
故答案为：f（x）=（x-1）（x-q）2+p；f（x）=x3+9x2+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）． （1）因为f（x）=pqx，f（x）=logqx+q是单调函数，f（x）=（x-1）（x-q）2+q中，
f′（x）=3x2-（4q+2）+q2+2q，令f′（x）=0，得x=q，x=
q+2
3
，f（x）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f（x）=（x-1）（x-q）2+p为其成绩模拟函数．
（2）①由f（1）=4，f（3）=6，得
p＝4
2(3−q)2
又q＞2
+p＝6得
p＝4
q＝4

f（x）=x3+9x2+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．
故答案为：f（x）=（x-1）（x-q）2+p；f（x）=x3+9x2+24x-12（1≤x≤12，且x∈Z）．
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