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一元运算和二元运算
一.一元运算和二元运算
定义 10.1 设S是集合, 函数 f : S → S称为S上的一个 一元运算 .
例 10.1 (1) 求数的相反数是整数集合Z 、有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.
(2) 求数的倒数是非零有理数集和非零实数集上的一元运算.
(3) 求复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算.
(4) 在幂集合P(S)上, 如果规定全集为S, 则求集合的绝对补运算是P(S)上的一元运算.
(5) 设集合S上所有双射函数组成的集合为, 则求双射函数的反函数是A上的一元运算.
(6) 在n(n≥2)阶实数集合(R) 上,求矩阵的转置矩阵是(R)上的一元运算 .
注: 验证 S上一种运算是否为一元运算主要应检验两点:
(1) S中任何元素都能进行这种运算, 且运算结果是唯一的.
(2) S中任何元素进行运算的结果都仍在S中, 即S对运算 是封闭的.
定义 10.2 设S是集合,函数 f : S Ⅹ S → S称为S上的 二元运算 .
注: 验证 S上一种运算是否为二元运算也主要检验两点:
(1) S中任二元素都可进行这种运算, 且运算结果是唯一的.
(2) S中任二元素运算的结果都仍在S中(运算具有封闭性).
例 10.2 (1) 自然数集合N上的加法和乘法都是N上的二元运算, 但减法和除法不是.
(2) 整数集合 Z 上的加法、减法和乘法都是 Z 上的二元运算, 但除法不是.
(3) 实数域 R 和有理数域 Q 上的加法、减法、乘法都是二元运算, 但除法不是; 非零实数域和非零有理数域上的乘法和除法都是二元运算, 但加法和减法不是.
(4) 在所有 n阶实矩阵(n≥2)形成的集合M n(R) 上, 矩阵的加法和乘法都是二元运算.
(5) S 为任意集合, 则∪, ∩, －, ⊕ 为 S 的幂集 P(S) 上的二元运算.
(6) S 为集合, S 上所有函数形成的集合为. 则函数的复合运算⌈是上的二元运算.
注: 通常用符号 *, , ·, …, 等来表示运算, 称为运算符.
例 10.3 设有实数域R上的二元运算: ∀ x , y ∈ R, x * y = x, 计算
解:
有限集合 S上的一元和二元运算除了使用函数表达式给出外, 也可以用运算表给出; 运算表的一般格式为:
例 10.4 设S={1,2},给出P(S)上的补运算～和对称差运算 ⊕ 的运算表 ,其中全集为S.
解: 所求运算表如下 :
例10.5 设S={1,2,3,4},定义 S上的二元运算如下: xy=(xy)（mod 5）, ( ∀ x, y ∈ S)
求运算的运算表.
解: 所求运算表如下:
二.二元运算的单位元、零元和元素的逆元
定义 10.3 设为集合S上的二元运算.
(1) 若 ∃ ∈ S (或 ∃ ∈ S ), 使得对 ∀ x ∈ S 都有
x = x ( 或 x=x )
则称是 S中关于运算⌈的 左单位元 ( 称 为S中关于运算⌈的 右单位元 ).
如果 e ∈ S关于运算⌈既是左单位元又是右单位元, 则称为 单位元 或 幺元 .
(2) 若 ∃ θ l ∈ S (或 ∃ θ r ∈ S), 使得对∀ x ∈ S 都有
θ l x = θ l ( 或 x θ r = θ r )
则称 θ l 是 S中关于运算 的 左零元 (称 θ r 是 S中关于运算 的 右零元 ).若 θ ∈ S关于运算 既是左零元又是右零元, 则称它是S中关于运算 的 零元 .
(3) 设e ∈ S是运算 的单位元, x ∈ S.若 $ ∈ S (或 $ ∈ S), 使得
i x = e (或 x =e )
则称 是在运算 下元素x的 左逆元 (称 是在运算 下元素 x 的 右逆元 ).
若 y ∈ S既是x 的左逆元又是x 的右逆元, 则称 y是x 在运算 下的 逆元 .存在逆元的元素称为可逆的.
注1
♥ 在数集 N, Z, Q, R上,0是加法的单位元,1是乘法的单位元；
♥ 在 n阶实矩阵集合M n(R)上,全0的n阶矩阵是矩阵加法的单位元, n 阶单位矩阵是矩阵乘法的单位元；
♥ 在幂集P(S)上, F 是∪运算的单位元 , 全集S是∩运算的单位元, F 也是对称差运算 ⊕ 的单位元；
♥ 在上,恒等矩阵 I A 是函数复合运算的单位元.
注2
♥ 在数集N, Z, Q, R上,加法没有零元,0 是乘法的零元；
♥ 在 M n(R)上, 矩阵加法没有零元, 全 0 的 n 阶矩阵是矩阵乘法的零元;
♥ 在P(S)上, 全集 S 是∪运算的零元, F 是∩运算的零元,⊕ 没有零元；
注3
♥ 在自然数集N上,只有0有加法逆元,就是它自己；
♥ 在数集Z,Q,R上, 每个数字x关于加法运算都有逆元, 即它的相反数–x ;
♥ 在数集Q,R上, 每个非零数字x关于乘法运算都有逆元, 即它的倒数 ；
♥ 在集合M n(R)上,每个 n 阶实矩阵 M 关于矩阵加法都有逆元–M; 每个n 阶实可逆矩阵 M 关于矩阵乘法都有逆元 ;
♥ 在P(S)上,关于并运算∪,只有 F 有逆元,就是它自己；
关于交运算∩,只有全集S有逆元,就是它自己.
定理 10.1 (1) 设为S上的二元运算.如果在S中关于该运算既存在左单元 又存在右单元 , 则必存在单位元e , 且 = =e.
(2) S上关于运算的单位元是唯一的.
证: (1) 因 是右单位元,故= ;
又因是左单位元,故 = .从而 = .
令 e = = , 易见 e 是单位元.
(2) 设e 和e ' 都是 S中关于运算的单位元,则
e=e e ' = e'
可见,单位元是唯一的.
定理 10.2 (1) 设为S上的二元运算.如果在S中关于该运算既有左零元 θ l 又有右零元 θ r ,则必存在零元 θ ,且 θ l = θ r = θ .
(2) S上关于运算的零元是唯一的.
证明与上一定理类似,留作练习.
定理 10.3 设为S上的二元运算, e 和 θ 分别为该运算的单位元和零元.如果 S 至少有两个元素,则e≠ q .
证：用反证法.假设 e= θ ,则对 ∀x ∈ S,有 x= xe= xθ = θ . 这与 S中
至少有两个元素矛盾.
定理 10.4 设为S上的可结合的二元运算,(“可结合”见下文定义),e 为该运算的单位元. (1) 如果S中一个元素x在该运算下既有左逆元 又有右逆元 ,则它必有逆元 y , 且 = =y；(2) 若 x ∈ S在运算下有逆元,则逆元是唯一的.
证: (1) 由 x = e 和 x =e 得
= e = ( x ) = ( x ) = e = .
令 y = = , 则易见 y 是 x 的逆元.
(2) 设 y 和 y ' 都是元素 x 在运算 下的逆元,则
y ' = y ' e= y '(x y)=(y ' x) y=e y=y .
由此可见 x 的逆元是唯一的.
三.二元运算的运算律
定义 10.4 (1)设为集合S上的二元运算. 如果对 ∀ x, y ∈ S,都有
xy=yx,
则称运算在S上具有 交换律 ,或称运算在 S上是交换的.
(2) 设为集合 S上的二元运算.如果对 ∀ x , y, z ∈ S, 都有
(x y) z = x (y z)
则称运算在S上具有 结合律 ,或称运算 在S上是结合的.
(3) 设为集合S上的二元运算.如果对 ∀ x ∈ S,都有
x x =x
则称运算 在S上具有 幂等律 ,或称运算 在S上是幂等的.
(4) 设和·是集合S上两个二元运算.如果对 ∀ x , y, z ∈ S,都有
x ·(y z)=(x · y) (x · z) (或都有 (y z) · x=(y · x) (z · x))
则称运算·对运算具有 左分配律 (或 右分配律 ).若·对既有左分配律又具有右分配律,则称·对具有 分配律 .
定义 10.5
(1) 设和·是集合S上的两个可交换的二元运算.如果对 ∀ x , y ∈ S,都有
x·(x y)=x,
则称运算·对运算具有吸收律.如果·对具有吸收律,且对·也具有吸收律,则称运算·和在S上是 吸收的 .
(2) 设是集合S上的二元运算,如果对 ∀x , y, z ∈ S,都有
xy=xz ∧ x ≠零元) ⇒ y=z
或都有 (yx=zx ∧x ≠零元) ⇒y=z）
则称运算 在S上具有 左消去律 (或具有 右消去律 ).若运算在S上既具有左消去律又具有右消去律,则称它在S上具有 消去律 .
注1.
常见的二元运算满足交换律,结合律,幂等律和消去律的情况：
♠ & 集合的并和交不满足消去律的例子 ：
A={1,3,4,5}, B={1,2,4,5}, C={1,2,3}, D={1,3},
则 A∪C=B∪C={1,2,3,4,5}, 但A≠B；
A∩C=D∩C={1,3}, 但A≠D.
♠ & 函数的复合运算不满足消去律的例子：
注2.
★ 集合 N,Z,Q,R,C上数字的乘法对加法具有分配律；
★ n 阶实矩阵集合 M n(R) 上矩阵的乘法对加法具有分配律；
★ 幂集 P(S)上交和并运算∩与∪是互相可分配的.
注3.
幂集P(S)上的∪与∩运算满足吸收律,即 ∀ A, B ∈ P(S), 有A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A.
注4.
设是集合S上的二元运算. 若S中某元素 x 满足xx=x, 则称x为运算⌈的幂等元.显然, 若二元运算在S上具有幂等律, 则S中每个元素都是 运算的幂等元.
例 10.6 对下列二元运算, 指出其运算性质, 并求其单位元、零元和
所有可逆元的逆元.
解: (1) * 运算可交换、可结合, 是幂等的, 不存在零元.因为对 ,x * 1=1 * x=x , 故1是单位元.除1外, 其它元素无逆元, 1 的逆元是它 自己.
(2) ① ∵ 对 ∀x , y ∈ Q, x * y = x+y – xy = y+x – yx = y* x , 故*满足交换律；
② ∵ 对 ∀ x , y, z ∈ Q, 有
(x * y ) * z = (x+y – xy) * z = x+y+z – xy – xz – yz+xyz ,
x * (y * z ) = x * (y+z – yz) = x+y+z – yz – xz – xy+xyz .
可见 * 满足结合律；
③ ∵ 对 2 ∈ Q, 有 2*2=2+2–2 ′ 2=0 1 2, 故*不满足幂等律；
④ ∵ 对 ∀x , y, z ∈ Q 且 x 1 1 (1是零元),有
x*y = x*z ⇒ x+y – xy = x+z – xz ⇒y – z = x(y – z) ⇒y = z.
故满足左消去律, 由于可交换, 故也满足右消去律, 从而*满足消去律；
⑤ 因为对 ∀ x ∈ Q,都有 x*0 = x = 0*x,故 0是*的单位元；
⑥ 因为对 ∀ x ∈ Q,都有 x*1=1=1*x,故 1是*的零元；
⑦ 因为对 ∀ x ∈ Q,欲使 x*y=0 和 y*x=0成立,即
x+y – xy = 0,
解得 ,故每一非零元x都有逆元 .
例 10.7 设A={a, b, c}, A上的二元运算 * ,· 如表所求.
(1) 说明它们是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律.
(2) 求出它们的单位元、零元和所有可逆的逆元.
表格
解: *运算 满足交换律、结合律和消去律 , 不满足幂等律.单位元是a;没有零元；, .
运算 满足交换律、结合律和幂等律 , 不满足消去律,单位元是a,零元是b. 仅仅a 有逆元： .
· 运算 满足交换律、结合律和幂等律 , 不满足交换律和消去律.没有单位元和零元,任何元素都无逆元.
一元运算和二元运算
一.一元运算和二元运算
定义 10.1 设S是集合, 函数 f : S → S称为S上的一个 一元运算 .
例 10.1 (1) 求数的相反数是整数集合Z 、有理数集合Q和实数集合R上的一元运算.
(2) 求数的倒数是非零有理数集和非零实数集上的一元运算.
(3) 求复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算.
(4) 在幂集合P(S)上, 如果规定全集为S, 则求集合的绝对补运算是P(S)上的一元运算.
(5) 设集合S上所有双射函数组成的集合为, 则求双射函数的反函数是A上的一元运算.
(6) 在n(n≥2)阶实数集合(R) 上,求矩阵的转置矩阵是(R)上的一元运算 .
注: 验证 S上一种运算是否为一元运算主要应检验两点:
(1) S中任何元素都能进行这种运算, 且运算结果是唯一的.
(2) S中任何元素进行运算的结果都仍在S中, 即S对运算 是封闭的.
定义 10.2 设S是集合,函数 f : S Ⅹ S → S称为S上的 二元运算 .
注: 验证 S上一种运算是否为二元运算也主要检验两点:
(1) S中任二元素都可进行这种运算, 且运算结果是唯一的.
(2) S中任二元素运算的结果都仍在S中(运算具有封闭性).
例 10.2 (1) 自然数集合N上的加法和乘法都是N上的二元运算, 但减法和除法不是.
(2) 整数集合 Z 上的加法、减法和乘法都是 Z 上的二元运算, 但除法不是.
(3) 实数域 R 和有理数域 Q 上的加法、减法、乘法都是二元运算, 但除法不是; 非零实数域和非零有理数域上的乘法和除法都是二元运算, 但加法和减法不是.
(4) 在所有 n阶实矩阵(n≥2)形成的集合M n(R) 上, 矩阵的加法和乘法都是二元运算.
(5) S 为任意集合, 则∪, ∩, －, ⊕ 为 S 的幂集 P(S) 上的二元运算.
(6) S 为集合, S 上所有函数形成的集合为. 则函数的复合运算⌈是上的二元运算.
注: 通常用符号 *, , ·, …, 等来表示运算, 称为运算符.
例 10.3 设有实数域R上的二元运算: ∀ x , y ∈ R, x * y = x, 计算
解:
有限集合 S上的一元和二元运算除了使用函数表达式给出外, 也可以用运算表给出; 运算表的一般格式为:
例 10.4 设S={1,2},给出P(S)上的补运算～和对称差运算 ⊕ 的运算表 ,其中全集为S.
解: 所求运算表如下 :
例10.5 设S={1,2,3,4},定义 S上的二元运算如下: xy=(xy)（mod 5）, ( ∀ x, y ∈ S)
求运算的运算表.
解: 所求运算表如下:
二.二元运算的单位元、零元和元素的逆元
定义 10.3 设为集合S上的二元运算.
(1) 若 ∃ ∈ S (或 ∃ ∈ S ), 使得对 ∀ x ∈ S 都有
x = x ( 或 x=x )
则称是 S中关于运算⌈的 左单位元 ( 称 为S中关于运算⌈的 右单位元 ).
如果 e ∈ S关于运算⌈既是左单位元又是右单位元, 则称为 单位元 或 幺元 .
(2) 若 ∃ θ l ∈ S (或 ∃ θ r ∈ S), 使得对∀ x ∈ S 都有
θ l x = θ l ( 或 x θ r = θ r )
则称 θ l 是 S中关于运算 的 左零元 (称 θ r 是 S中关于运算 的 右零元 ).若 θ ∈ S关于运算 既是左零元又是右零元, 则称它是S中关于运算 的 零元 .
(3) 设e ∈ S是运算 的单位元, x ∈ S.若 $ ∈ S (或 $ ∈ S), 使得
i x = e (或 x =e )
则称 是在运算 下元素x的 左逆元 (称 是在运算 下元素 x 的 右逆元 ).
若 y ∈ S既是x 的左逆元又是x 的右逆元, 则称 y是x 在运算 下的 逆元 .存在逆元的元素称为可逆的.
注1
♥ 在数集 N, Z, Q, R上,0是加法的单位元,1是乘法的单位元；
♥ 在 n阶实矩阵集合M n(R)上,全0的n阶矩阵是矩阵加法的单位元, n 阶单位矩阵是矩阵乘法的单位元；
♥ 在幂集P(S)上, F 是∪运算的单位元 , 全集S是∩运算的单位元, F 也是对称差运算 ⊕ 的单位元；
♥ 在上,恒等矩阵 I A 是函数复合运算的单位元.
注2
♥ 在数集N, Z, Q, R上,加法没有零元,0 是乘法的零元；
♥ 在 M n(R)上, 矩阵加法没有零元, 全 0 的 n 阶矩阵是矩阵乘法的零元;
♥ 在P(S)上, 全集 S 是∪运算的零元, F 是∩运算的零元,⊕ 没有零元；
注3
♥ 在自然数集N上,只有0有加法逆元,就是它自己；
♥ 在数集Z,Q,R上, 每个数字x关于加法运算都有逆元, 即它的相反数–x ;
♥ 在数集Q,R上, 每个非零数字x关于乘法运算都有逆元, 即它的倒数 ；
♥ 在集合M n(R)上,每个 n 阶实矩阵 M 关于矩阵加法都有逆元–M; 每个n 阶实可逆矩阵 M 关于矩阵乘法都有逆元 ;
♥ 在P(S)上,关于并运算∪,只有 F 有逆元,就是它自己；
关于交运算∩,只有全集S有逆元,就是它自己.
定理 10.1 (1) 设为S上的二元运算.如果在S中关于该运算既存在左单元 又存在右单元 , 则必存在单位元e , 且 = =e.
(2) S上关于运算的单位元是唯一的.
证: (1) 因 是右单位元,故= ;
又因是左单位元,故 = .从而 = .
令 e = = , 易见 e 是单位元.
(2) 设e 和e ' 都是 S中关于运算的单位元,则
e=e e ' = e'
可见,单位元是唯一的.
定理 10.2 (1) 设为S上的二元运算.如果在S中关于该运算既有左零元 θ l 又有右零元 θ r ,则必存在零元 θ ,且 θ l = θ r = θ .
(2) S上关于运算的零元是唯一的.
证明与上一定理类似,留作练习.
定理 10.3 设为S上的二元运算, e 和 θ 分别为该运算的单位元和零元.如果 S 至少有两个元素,则e≠ q .
证：用反证法.假设 e= θ ,则对 ∀x ∈ S,有 x= xe= xθ = θ . 这与 S中
至少有两个元素矛盾.
定理 10.4 设为S上的可结合的二元运算,(“可结合”见下文定义),e 为该运算的单位元. (1) 如果S中一个元素x在该运算下既有左逆元 又有右逆元 ,则它必有逆元 y , 且 = =y；(2) 若 x ∈ S在运算下有逆元,则逆元是唯一的.
证: (1) 由 x = e 和 x =e 得
= e = ( x ) = ( x ) = e = .
令 y = = , 则易见 y 是 x 的逆元.
(2) 设 y 和 y ' 都是元素 x 在运算 下的逆元,则
y ' = y ' e= y '(x y)=(y ' x) y=e y=y .
由此可见 x 的逆元是唯一的.
三.二元运算的运算律
定义 10.4 (1)设为集合S上的二元运算. 如果对 ∀ x, y ∈ S,都有
xy=yx,
则称运算在S上具有 交换律 ,或称运算在 S上是交换的.
(2) 设为集合 S上的二元运算.如果对 ∀ x , y, z ∈ S, 都有
(x y) z = x (y z)
则称运算在S上具有 结合律 ,或称运算 在S上是结合的.
(3) 设为集合S上的二元运算.如果对 ∀ x ∈ S,都有
x x =x
则称运算 在S上具有 幂等律 ,或称运算 在S上是幂等的.
(4) 设和·是集合S上两个二元运算.如果对 ∀ x , y, z ∈ S,都有
x ·(y z)=(x · y) (x · z) (或都有 (y z) · x=(y · x) (z · x))
则称运算·对运算具有 左分配律 (或 右分配律 ).若·对既有左分配律又具有右分配律,则称·对具有 分配律 .
定义 10.5
(1) 设和·是集合S上的两个可交换的二元运算.如果对 ∀ x , y ∈ S,都有
x·(x y)=x,
则称运算·对运算具有吸收律.如果·对具有吸收律,且对·也具有吸收律,则称运算·和在S上是 吸收的 .
(2) 设是集合S上的二元运算,如果对 ∀x , y, z ∈ S,都有
xy=xz ∧ x ≠零元) ⇒ y=z
或都有 (yx=zx ∧x ≠零元) ⇒y=z）
则称运算 在S上具有 左消去律 (或具有 右消去律 ).若运算在S上既具有左消去律又具有右消去律,则称它在S上具有 消去律 .
注1.
常见的二元运算满足交换律,结合律,幂等律和消去律的情况：
♠ & 集合的并和交不满足消去律的例子 ：
A={1,3,4,5}, B={1,2,4,5}, C={1,2,3}, D={1,3},
则 A∪C=B∪C={1,2,3,4,5}, 但A≠B；
A∩C=D∩C={1,3}, 但A≠D.
♠ & 函数的复合运算不满足消去律的例子：
注2.
★ 集合 N,Z,Q,R,C上数字的乘法对加法具有分配律；
★ n 阶实矩阵集合 M n(R) 上矩阵的乘法对加法具有分配律；
★ 幂集 P(S)上交和并运算∩与∪是互相可分配的.
注3.
幂集P(S)上的∪与∩运算满足吸收律,即 ∀ A, B ∈ P(S), 有A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A.
注4.
设是集合S上的二元运算. 若S中某元素 x 满足xx=x, 则称x为运算⌈的幂等元.显然, 若二元运算在S上具有幂等律, 则S中每个元素都是 运算的幂等元.
例 10.6 对下列二元运算, 指出其运算性质, 并求其单位元、零元和
所有可逆元的逆元.
解: (1) * 运算可交换、可结合, 是幂等的, 不存在零元.因为对 ,x * 1=1 * x=x , 故1是单位元.除1外, 其它元素无逆元, 1 的逆元是它 自己.
(2) ① ∵ 对 ∀x , y ∈ Q, x * y = x+y – xy = y+x – yx = y* x , 故*满足交换律；
② ∵ 对 ∀ x , y, z ∈ Q, 有
(x * y ) * z = (x+y – xy) * z = x+y+z – xy – xz – yz+xyz ,
x * (y * z ) = x * (y+z – yz) = x+y+z – yz – xz – xy+xyz .
可见 * 满足结合律；
③ ∵ 对 2 ∈ Q, 有 2*2=2+2–2 ′ 2=0 1 2, 故*不满足幂等律；
④ ∵ 对 ∀x , y, z ∈ Q 且 x 1 1 (1是零元),有
x*y = x*z ⇒ x+y – xy = x+z – xz ⇒y – z = x(y – z) ⇒y = z.
故满足左消去律, 由于可交换, 故也满足右消去律, 从而*满足消去律；
⑤ 因为对 ∀ x ∈ Q,都有 x*0 = x = 0*x,故 0是*的单位元；
⑥ 因为对 ∀ x ∈ Q,都有 x*1=1=1*x,故 1是*的零元；
⑦ 因为对 ∀ x ∈ Q,欲使 x*y=0 和 y*x=0成立,即
x+y – xy = 0,
解得 ,故每一非零元x都有逆元 .
例 10.7 设A={a, b, c}, A上的二元运算 * ,· 如表所求.
(1) 说明它们是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律.
(2) 求出它们的单位元、零元和所有可逆的逆元.
表格
解: *运算 满足交换律、结合律和消去律 , 不满足幂等律.单位元是a;没有零元；, .
运算 满足交换律、结合律和幂等律 , 不满足消去律,单位元是a,零元是b. 仅仅a 有逆元： .
· 运算 满足交换律、结合律和幂等律 , 不满足交换律和消去律.没有单位元和零元,任何元素都无逆元.