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数列综合
数列作为特殊的函数,在很多问题上的解决方法都与函数相似.比如,在分析数列性质时,往往都要从数列中每一项的下标分析入手,这一点,与解决函数问题时要从对自变量的分析入手一样.函数与方程及不等式有着密切的联系,所以,数列问题又可与方程和不等式相结合.因此,在解决数列问题时,要注意重在方法上与函数、方程、不等式相类比,同时也充分关注到数列本身的一些特殊性质.
1．已知是关于的一次函数,是关于的二次函数,的图象是开口向下,对称轴为的抛物线,数列满足,而恰为数列的前项和.
（1）证明为等差数列,说明首项a1与公差d的符号；
（2）求出满足的最大正整数,判断此时与的大小,并说明理由；
（3）当a1=21时,求出与的解析式.
分析：本题考查等差数列的定义,通项公式,前项和公式的应用,综合考查数列与函数的综合.
解析：
（1）设,
∴,
∴（常数）
∴是公差为k的等差数列.
∴
∴,
又的图象开口向下,且对称轴为
∴的公差d=k＜0且
∴
∴
（2）
令
∴,∴
∵n∈N*,∴满足的最大正整数n=6.
∴
∴
,∴
（3）,∴k=－4,b=25,
∴,
反思：对于第（2）问,可以结合二次函数性质及等差数列性质,
法二：∵开口向下,对称轴且由等数列前n项和公式可知
∴图象与x轴交点横坐标为.
∴S11= 11a6＞0,S12=6(a6+a1)＜0
∴a6＞0,a7＜0
∴a1＞a2＞a3＞…＞a6＞0＞a7＞a8＞…
2．已知点是函数（a＞0且a≠1）的图象上的一点,等比数列的前n项和为,数列（）的首项为c,且前n项和满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列前n项和为,问的最小正整数n是多少?
分析：本题考查数列知识的综合运用,与的关系,以及特殊数列求和及不等式的相关知识,解题过程中注重化归为基本问题.
解析：
（1）∵,∴
∴,
∵是等比数列,∴
∴c=1且公比
∴,
∵
,∴且b1=S1=1
∴是首项为1公差为1的等差数列
∴（）,
∴当n≥2时
当n=1时b1=1=2×1－1
综上,（）
（2）
∴
由得
∴满足的最小正整数n=112.
3．等比数列的前n项和为,已知对任意的n∈N+,点均在函数（b＞0且b≠1,b,r均为常数）的图像上.
（1）求r的值；
（2）当b=2时,记（n∈N+）,求数列的前n项和.
分析：本题考查与的关系,即由求,以及特殊数列求和.
解析：
（1）由已知
∴a1=S1=b+r,a2=S2－S1=b2－b,a3=S3－S2=b3－b2
∵是等比数列,∴
∴(b2―b)2=(b+r)(b3―b2),化简得(1+r)(b－1)·b2=0
∵b＞0且b≠1,∴1+r=0,r=－1
（2）由（1）知
∴a1=S1=1,
∴,
∴ ①
②
①－②：
∴
反思：错位相减求和时注意运算.
4．曲线C：y=(x+a)3（a≠0）,以P0（0,a3）为切点,作曲线C的切线交x轴于Q1,过Q1作x轴的垂线交曲线C于P1（x1,y1）；以P1（x1,y1）为切点作曲线C的切线交x轴于Q2,过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2（x2,y2）；如此继续下去,得到点列
（1）求与的关系（n≥2）；
（2）求,的通项公式.
分析：本题考查导数,数列的相关知识的综合运用.
解析：
（1）
∴过点的切线方程
其中
令y=0,∴
若存在n0使,则当n0=0时,与已知矛盾!
∴,
∴,∴
∴
（2）且,
∴是首项为,公比为的等比数列
∴,∴
反思：注意题目中出现了形如的递推关系,可利用如下待定系数法求通项公式.
令 ,∴
∴,
∴
∴在时数列即为公比是p的等比数列.
5．已知曲线（n=1,2,…）.从点P（－1,0）向曲线引斜率为的切线,切点为.
（1）求数列与的通项公式；
（2）证明：.
分析：本题综合考查圆、函数、数列相关知识,包括圆的切线,不等式放缩,函数单调性,求函数最值等,注意化归,同时关注几何图形及方法应用.
解析：
（1）圆,圆心,半径
∴,
∴,即
由得
∴,即
（2）,
∴
∴
∴
又,
令,∴
令得
对给定区间有,∴在单调递减
∴,即
而当n≥1时2n+1≥3,∴
∴即.
反思：本题（1）问充分关注了几何图形特征,利用平面几何知识求解,计算量小,第（2）问综合了数列单调性与函数单调性问题,注意方法的比较.
课后练习
1．已知函数,M（x1,y1）,N（x2,y2）是图象上的两点,横坐标为的点P满足（O为坐标原点）.
（Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
（Ⅱ）若,其中n∈N*,且n≥2,求；
（Ⅲ）已知,其中n∈N*,为数列的前n项和,
若对一切n∈N*都成立,试求m的取值范围.
2．已知数列的前n项和（n为正整数）.
（Ⅰ）令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令,试比较与的大小,并予以证明.
参考答案：
1．解析：
（Ⅰ）证：由已知可得,
∴P是MN的中点,有x1+x2=1.
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x1+x2=1时,
,
,
相加得
∴
（Ⅲ）当n≥2时,
.
又当n=1时,
∴.
.
由于对一切n∈N*都成立,
∵,当且仅当n=2时,取“=”,
∴.
因此.
2．解析：
（Ⅰ）在中,
令n=1,可得,即
当n≥2时,∴,
∴,即.
∵,∴,
即当n≥2时,.
又b1= 2a1=1,∴数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是,∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,所以
由①－②得
∴
于是确定与的大小关系等价于比较与2n+1的大小
由2＜2×1+1；22＜2×2+1；23＜2×3+1；24＜2×4+1；25＜2×5+1；……
可猜想当n≥3时,.
证明如下：
证法1：
（1）当n=3时,由上验算显示成立.
（2）假设当n=k（k≥3）时猜想也成立.
则当n=k+1时
所以当n=k+1时猜想也成立.
综合（1）（2）可知,对一切n≥3的正整数,都有.
证法2：当n≥3时
综上所述,当n=1,2时,当n≥3时.
数列综合
数列作为特殊的函数,在很多问题上的解决方法都与函数相似.比如,在分析数列性质时,往往都要从数列中每一项的下标分析入手,这一点,与解决函数问题时要从对自变量的分析入手一样.函数与方程及不等式有着密切的联系,所以,数列问题又可与方程和不等式相结合.因此,在解决数列问题时,要注意重在方法上与函数、方程、不等式相类比,同时也充分关注到数列本身的一些特殊性质.
1．已知是关于的一次函数,是关于的二次函数,的图象是开口向下,对称轴为的抛物线,数列满足,而恰为数列的前项和.
（1）证明为等差数列,说明首项a1与公差d的符号；
（2）求出满足的最大正整数,判断此时与的大小,并说明理由；
（3）当a1=21时,求出与的解析式.
分析：本题考查等差数列的定义,通项公式,前项和公式的应用,综合考查数列与函数的综合.
解析：
（1）设,
∴,
∴（常数）
∴是公差为k的等差数列.
∴
∴,
又的图象开口向下,且对称轴为
∴的公差d=k＜0且
∴
∴
（2）
令
∴,∴
∵n∈N*,∴满足的最大正整数n=6.
∴
∴
,∴
（3）,∴k=－4,b=25,
∴,
反思：对于第（2）问,可以结合二次函数性质及等差数列性质,
法二：∵开口向下,对称轴且由等数列前n项和公式可知
∴图象与x轴交点横坐标为.
∴S11= 11a6＞0,S12=6(a6+a1)＜0
∴a6＞0,a7＜0
∴a1＞a2＞a3＞…＞a6＞0＞a7＞a8＞…
2．已知点是函数（a＞0且a≠1）的图象上的一点,等比数列的前n项和为,数列（）的首项为c,且前n项和满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列前n项和为,问的最小正整数n是多少?
分析：本题考查数列知识的综合运用,与的关系,以及特殊数列求和及不等式的相关知识,解题过程中注重化归为基本问题.
解析：
（1）∵,∴
∴,
∵是等比数列,∴
∴c=1且公比
∴,
∵
,∴且b1=S1=1
∴是首项为1公差为1的等差数列
∴（）,
∴当n≥2时
当n=1时b1=1=2×1－1
综上,（）
（2）
∴
由得
∴满足的最小正整数n=112.
3．等比数列的前n项和为,已知对任意的n∈N+,点均在函数（b＞0且b≠1,b,r均为常数）的图像上.
（1）求r的值；
（2）当b=2时,记（n∈N+）,求数列的前n项和.
分析：本题考查与的关系,即由求,以及特殊数列求和.
解析：
（1）由已知
∴a1=S1=b+r,a2=S2－S1=b2－b,a3=S3－S2=b3－b2
∵是等比数列,∴
∴(b2―b)2=(b+r)(b3―b2),化简得(1+r)(b－1)·b2=0
∵b＞0且b≠1,∴1+r=0,r=－1
（2）由（1）知
∴a1=S1=1,
∴,
∴ ①
②
①－②：
∴
反思：错位相减求和时注意运算.
4．曲线C：y=(x+a)3（a≠0）,以P0（0,a3）为切点,作曲线C的切线交x轴于Q1,过Q1作x轴的垂线交曲线C于P1（x1,y1）；以P1（x1,y1）为切点作曲线C的切线交x轴于Q2,过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2（x2,y2）；如此继续下去,得到点列
（1）求与的关系（n≥2）；
（2）求,的通项公式.
分析：本题考查导数,数列的相关知识的综合运用.
解析：
（1）
∴过点的切线方程
其中
令y=0,∴
若存在n0使,则当n0=0时,与已知矛盾!
∴,
∴,∴
∴
（2）且,
∴是首项为,公比为的等比数列
∴,∴
反思：注意题目中出现了形如的递推关系,可利用如下待定系数法求通项公式.
令 ,∴
∴,
∴
∴在时数列即为公比是p的等比数列.
5．已知曲线（n=1,2,…）.从点P（－1,0）向曲线引斜率为的切线,切点为.
（1）求数列与的通项公式；
（2）证明：.
分析：本题综合考查圆、函数、数列相关知识,包括圆的切线,不等式放缩,函数单调性,求函数最值等,注意化归,同时关注几何图形及方法应用.
解析：
（1）圆,圆心,半径
∴,
∴,即
由得
∴,即
（2）,
∴
∴
∴
又,
令,∴
令得
对给定区间有,∴在单调递减
∴,即
而当n≥1时2n+1≥3,∴
∴即.
反思：本题（1）问充分关注了几何图形特征,利用平面几何知识求解,计算量小,第（2）问综合了数列单调性与函数单调性问题,注意方法的比较.
课后练习
1．已知函数,M（x1,y1）,N（x2,y2）是图象上的两点,横坐标为的点P满足（O为坐标原点）.
（Ⅰ）求证：y1+y2为定值；
（Ⅱ）若,其中n∈N*,且n≥2,求；
（Ⅲ）已知,其中n∈N*,为数列的前n项和,
若对一切n∈N*都成立,试求m的取值范围.
2．已知数列的前n项和（n为正整数）.
（Ⅰ）令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式；
（Ⅱ）令,试比较与的大小,并予以证明.
参考答案：
1．解析：
（Ⅰ）证：由已知可得,
∴P是MN的中点,有x1+x2=1.
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x1+x2=1时,
,
,
相加得
∴
（Ⅲ）当n≥2时,
.
又当n=1时,
∴.
.
由于对一切n∈N*都成立,
∵,当且仅当n=2时,取“=”,
∴.
因此.
2．解析：
（Ⅰ）在中,
令n=1,可得,即
当n≥2时,∴,
∴,即.
∵,∴,
即当n≥2时,.
又b1= 2a1=1,∴数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是,∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,所以
由①－②得
∴
于是确定与的大小关系等价于比较与2n+1的大小
由2＜2×1+1；22＜2×2+1；23＜2×3+1；24＜2×4+1；25＜2×5+1；……
可猜想当n≥3时,.
证明如下：
证法1：
（1）当n=3时,由上验算显示成立.
（2）假设当n=k（k≥3）时猜想也成立.
则当n=k+1时
所以当n=k+1时猜想也成立.
综合（1）（2）可知,对一切n≥3的正整数,都有.
证法2：当n≥3时
综上所述,当n=1,2时,当n≥3时.