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集合与函数知识点归纳
1.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.
2.集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集,记为 ；
②空集是任何集合的子集,记为 ；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果 ,同时 ,那么A = B.
如果 那么 .
[注] Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
已知集合S 中A的补集是一个有限集,则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A= ,则CsA= {0}）
空集的补集是全集.若集合A=集合B,则CBA = ,CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）.
3.①{（x,y）|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x,y）|xy＜0,x∈R,y∈R 二、四象限的点集.
③{（x,y）|xy＞0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
例：解的集合{(2,1)}.
②点集与数集的交集是 .（例：A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B = ）
4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n －1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5.⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题 逆命题.
②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题 逆否命题.
例：①若 则 或 应是真命题.
逆否：a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真.
② .
逆否：x + y =3 x = 1或y = 2.
,故 是 的既不是充分,又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
例：若 .
6.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.
7.函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分.对于具体的函数来说可能有单调区间,也可能没有单调区间,如果函数在区间（0,1）上为减函数,在区间（1,2）上为减函数,就不能说函数在 上为减函数.
8.反函数定义：只有满足 ,函数 才有反函数.例：无反函数.
函数 的反函数记为 ,习惯上记为 .在同一坐标系,函数 与它的反函数 的图象关于 对称.
[注]：一般地,的反函数.是先求 的反函数,再左移三个单位． 是先左移三个单位,再求 的反函数.
9.⑴单调函数必有反函数,但并非反函数存在时一定是单调的.因此,所有偶函数不存在反函数.
⑵如果一个函数有反函数且为奇函数,那么它的反函数也为奇函数.
⑶设函数y = f（x）定义域,值域分别为X、Y.如果y = f（x）在X上是增（减）函数,那么反函数 在Y上一定是增（减）函数,即互为反函数的两个函数增减性相同.
⑷一般地,如果函数 有反函数,且 ,那么 .这就是说点（ ）在函数 图象上,那么点（ ）在函数 的图象上.
10.函数的应用
解函数应用问题的基本步骤：
第一步：阅读理解,审清题意.
读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.
第二步：引进数学符号,建立数学模型.
一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答,求得结果.
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答.
教学补充
1.集合的运算.
De Morgan公式 CuA∩ CuB = Cu（A∪ B） CuA∪ CuB = Cu（A∩ B）
2.容斥原理：对任意集合AB有 .
集合与函数知识点归纳
1.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.
2.集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集,记为 ；
②空集是任何集合的子集,记为 ；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果 ,同时 ,那么A = B.
如果 那么 .
[注] Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
已知集合S 中A的补集是一个有限集,则集合A也是有限集.（×）（例：S=N； A= ,则CsA= {0}）
空集的补集是全集.若集合A=集合B,则CBA = ,CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）.
3.①{（x,y）|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x,y）|xy＜0,x∈R,y∈R 二、四象限的点集.
③{（x,y）|xy＞0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
例：解的集合{(2,1)}.
②点集与数集的交集是 .（例：A ={(x,y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B = ）
4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n －1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5.⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题 逆命题.
②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题 逆否命题.
例：①若 则 或 应是真命题.
逆否：a = 2且 b = 3,则a+b = 5,成立,所以此命题为真.
② .
逆否：x + y =3 x = 1或y = 2.
,故 是 的既不是充分,又不是必要条件.
⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
例：若 .
6.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.
7.函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分.对于具体的函数来说可能有单调区间,也可能没有单调区间,如果函数在区间（0,1）上为减函数,在区间（1,2）上为减函数,就不能说函数在 上为减函数.
8.反函数定义：只有满足 ,函数 才有反函数.例：无反函数.
函数 的反函数记为 ,习惯上记为 .在同一坐标系,函数 与它的反函数 的图象关于 对称.
[注]：一般地,的反函数.是先求 的反函数,再左移三个单位． 是先左移三个单位,再求 的反函数.
9.⑴单调函数必有反函数,但并非反函数存在时一定是单调的.因此,所有偶函数不存在反函数.
⑵如果一个函数有反函数且为奇函数,那么它的反函数也为奇函数.
⑶设函数y = f（x）定义域,值域分别为X、Y.如果y = f（x）在X上是增（减）函数,那么反函数 在Y上一定是增（减）函数,即互为反函数的两个函数增减性相同.
⑷一般地,如果函数 有反函数,且 ,那么 .这就是说点（ ）在函数 图象上,那么点（ ）在函数 的图象上.
10.函数的应用
解函数应用问题的基本步骤：
第一步：阅读理解,审清题意.
读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.
第二步：引进数学符号,建立数学模型.
一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.
第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答,求得结果.
第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答.
教学补充
1.集合的运算.
De Morgan公式 CuA∩ CuB = Cu（A∪ B） CuA∪ CuB = Cu（A∩ B）
2.容斥原理：对任意集合AB有 .