数学
三角函数公式大全

2020-02-22

三角函数公式大全
优质解答
推导公式:(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中,R为外接圆半径)
  由正弦定理有
  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
  所以
  a=2R*sinA
  b=2R*sinB
  c=2R*sinC
  加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入
  (a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R
两角和公式
  sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
  sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
  cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
  cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
  tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
  tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
  cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
  cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
  倍角公式
  Sin2A=2SinA?CosA
对数的性质及推导
  用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数
  *表示乘号,/表示除号
  定义式:
  若a^n=b(a>0且a≠1)
  则n=log(a)(b)
  基本性质:
  1.a^(log(a)(b))=b
  2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
  3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
  4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
  推导
  1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)
  2.
  MN=M*N
  由基本性质1(换掉M和N)
  a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]
  由指数的性质
  a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}
  又因为指数函数是单调函数,所以
  log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
  3.与2类似处理
  MN=M/N
  由基本性质1(换掉M和N)
  a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]
  由指数的性质
  a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}
  又因为指数函数是单调函数,所以
  log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)
  4.与2类似处理
  M^n=M^n
  由基本性质1(换掉M)
  a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n
  由指数的性质
  a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}
  又因为指数函数是单调函数,所以
  log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
  其他性质:
  性质一:换底公式
  log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
  推导如下
  N=a^[log(a)(N)]
  a=b^[log(b)(a)]
  综合两式可得
  N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
  又因为N=b^[log(b)(N)]
  所以
  b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
  所以
  log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}
  所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
  性质二:(不知道什么名字)
  log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
  推导如下
  由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
  log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)
  由基本性质4可得
  log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}
  再由换底公式
  log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
  --------------------------------------------(性质及推导完)
  公式三:
  log(a)(b)=1/log(b)(a)
  证明如下:
  由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1
  =1/log(b)(a)
  还可变形得:
  log(a)(b)*log(b)(a)=1
平方关系:
  sin^2(α)+cos^2(α)=1
  tan^2(α)+1=sec^2(α)
  cot^2(α)+1=csc^2(α)
  •商的关系:
  tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα
  •倒数关系:
  tanα•cotα=1
  sinα•cscα=1
  cosα•secα=1
万能公式:
  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
常用的诱导公式有以下几组:
  公式一:
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
  sin(2kπ+α)=sinα
  cos(2kπ+α)=cosα
  tan(2kπ+α)=tanα
  cot(2kπ+α)=cotα
  公式二:
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
  sin(π+α)=-sinα
  cos(π+α)=-cosα
  tan(π+α)=tanα
  cot(π+α)=cotα
  公式三:
  任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
  sin(-α)=-sinα
  cos(-α)=cosα
  tan(-α)=-tanα
  cot(-α)=-cotα
  公式四:
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
  sin(π-α)=sinα
  cos(π-α)=-cosα
  tan(π-α)=-tanα
  cot(π-α)=-cotα
  公式五:
  利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
  sin(2π-α)=-sinα
  cos(2π-α)=cosα
  tan(2π-α)=-tanα
  cot(2π-α)=-cotα
  公式六:
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
  sin(π/2+α)=cosα
  cos(π/2+α)=-sinα
  tan(π/2+α)=-cotα
  cot(π/2+α)=-tanα
  sin(π/2-α)=cosα
  cos(π/2-α)=sinα
  tan(π/2-α)=cotα
  cot(π/2-α)=tanα
  sin(3π/2+α)=-cosα
  cos(3π/2+α)=sinα
  tan(3π/2+α)=-cotα
  cot(3π/2+α)=-tanα
  sin(3π/2-α)=-cosα
  cos(3π/2-α)=-sinα
  tan(3π/2-α)=cotα
  cot(3π/2-α)=tanα
  (以上k∈Z)
  一般的最常用公式有:
  Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA
  Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA
  Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB
  Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB
  Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)
  Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)
  平方关系:
  sin^2(α)+cos^2(α)=1
  tan^2(α)+1=sec^2(α)
  cot^2(α)+1=csc^2(α)
  •积的关系:
  sinα=tanα*cosα
  cosα=cotα*sinα
  tanα=sinα*secα
  cotα=cosα*cscα
  secα=tanα*cscα
  cscα=secα*cotα
  •倒数关系:
  tanα•cotα=1
  sinα•cscα=1
  cosα•secα=1
  直角三角形ABC中,
  角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
  余弦等于角A的邻边比斜边
  正切等于对边比邻边,
  三角函数恒等变形公式
  •两角和与差的三角函数:
  cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβ
  cos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβ
  sin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβ
  tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)
  tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)
  •辅助角公式:
  Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中
  sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
  cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
  •倍角公式:
  sin(2α)=2sinα•cosα=2/(tanα+cotα)
  cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
  tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
  •三倍角公式:
  sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
  cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
  •半角公式:
  sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
  cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
  tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
  •降幂公式
  sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
  cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2
  tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
  •万能公式:
  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
  •积化和差公式:
  sinα•cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
  cosα•sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
  cosα•cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
  sinα•sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
  •和差化积公式:
  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
  •其他:
  sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
  cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及
  sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
  tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
推导公式:(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中,R为外接圆半径)
  由正弦定理有
  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
  所以
  a=2R*sinA
  b=2R*sinB
  c=2R*sinC
  加起来a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入
  (a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R
两角和公式
  sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
  sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
  cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
  cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
  tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
  tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
  cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
  cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
  倍角公式
  Sin2A=2SinA?CosA
对数的性质及推导
  用^表示乘方,用log(a)(b)表示以a为底,b的对数
  *表示乘号,/表示除号
  定义式:
  若a^n=b(a>0且a≠1)
  则n=log(a)(b)
  基本性质:
  1.a^(log(a)(b))=b
  2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
  3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
  4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
  推导
  1.这个就不用推了吧,直接由定义式可得(把定义式中的[n=log(a)(b)]带入a^n=b)
  2.
  MN=M*N
  由基本性质1(换掉M和N)
  a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]
  由指数的性质
  a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}
  又因为指数函数是单调函数,所以
  log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)
  3.与2类似处理
  MN=M/N
  由基本性质1(换掉M和N)
  a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]
  由指数的性质
  a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}
  又因为指数函数是单调函数,所以
  log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)
  4.与2类似处理
  M^n=M^n
  由基本性质1(换掉M)
  a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n
  由指数的性质
  a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}
  又因为指数函数是单调函数,所以
  log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
  其他性质:
  性质一:换底公式
  log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
  推导如下
  N=a^[log(a)(N)]
  a=b^[log(b)(a)]
  综合两式可得
  N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
  又因为N=b^[log(b)(N)]
  所以
  b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
  所以
  log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{这步不明白或有疑问看上面的}
  所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)
  性质二:(不知道什么名字)
  log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
  推导如下
  由换底公式[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
  log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)
  由基本性质4可得
  log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}
  再由换底公式
  log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
  --------------------------------------------(性质及推导完)
  公式三:
  log(a)(b)=1/log(b)(a)
  证明如下:
  由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数,log(b)(b)=1
  =1/log(b)(a)
  还可变形得:
  log(a)(b)*log(b)(a)=1
平方关系:
  sin^2(α)+cos^2(α)=1
  tan^2(α)+1=sec^2(α)
  cot^2(α)+1=csc^2(α)
  •商的关系:
  tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα
  •倒数关系:
  tanα•cotα=1
  sinα•cscα=1
  cosα•secα=1
万能公式:
  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
常用的诱导公式有以下几组:
  公式一:
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
  sin(2kπ+α)=sinα
  cos(2kπ+α)=cosα
  tan(2kπ+α)=tanα
  cot(2kπ+α)=cotα
  公式二:
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
  sin(π+α)=-sinα
  cos(π+α)=-cosα
  tan(π+α)=tanα
  cot(π+α)=cotα
  公式三:
  任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
  sin(-α)=-sinα
  cos(-α)=cosα
  tan(-α)=-tanα
  cot(-α)=-cotα
  公式四:
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
  sin(π-α)=sinα
  cos(π-α)=-cosα
  tan(π-α)=-tanα
  cot(π-α)=-cotα
  公式五:
  利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
  sin(2π-α)=-sinα
  cos(2π-α)=cosα
  tan(2π-α)=-tanα
  cot(2π-α)=-cotα
  公式六:
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
  sin(π/2+α)=cosα
  cos(π/2+α)=-sinα
  tan(π/2+α)=-cotα
  cot(π/2+α)=-tanα
  sin(π/2-α)=cosα
  cos(π/2-α)=sinα
  tan(π/2-α)=cotα
  cot(π/2-α)=tanα
  sin(3π/2+α)=-cosα
  cos(3π/2+α)=sinα
  tan(3π/2+α)=-cotα
  cot(3π/2+α)=-tanα
  sin(3π/2-α)=-cosα
  cos(3π/2-α)=-sinα
  tan(3π/2-α)=cotα
  cot(3π/2-α)=tanα
  (以上k∈Z)
  一般的最常用公式有:
  Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA
  Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA
  Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB
  Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB
  Tan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)
  Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)
  平方关系:
  sin^2(α)+cos^2(α)=1
  tan^2(α)+1=sec^2(α)
  cot^2(α)+1=csc^2(α)
  •积的关系:
  sinα=tanα*cosα
  cosα=cotα*sinα
  tanα=sinα*secα
  cotα=cosα*cscα
  secα=tanα*cscα
  cscα=secα*cotα
  •倒数关系:
  tanα•cotα=1
  sinα•cscα=1
  cosα•secα=1
  直角三角形ABC中,
  角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
  余弦等于角A的邻边比斜边
  正切等于对边比邻边,
  三角函数恒等变形公式
  •两角和与差的三角函数:
  cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβ
  cos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβ
  sin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβ
  tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)
  tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)
  •辅助角公式:
  Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中
  sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
  cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
  •倍角公式:
  sin(2α)=2sinα•cosα=2/(tanα+cotα)
  cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
  tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
  •三倍角公式:
  sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
  cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
  •半角公式:
  sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
  cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
  tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
  •降幂公式
  sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
  cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2
  tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
  •万能公式:
  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
  •积化和差公式:
  sinα•cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
  cosα•sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
  cosα•cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
  sinα•sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
  •和差化积公式:
  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
  •其他:
  sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
  cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及
  sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
  tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
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