第一题：
过A作AD⊥准线交准线于D,过B作BC⊥准线交准线于C.
∵AN＝BN,显然有：AD∥NN1∥BC,∴NN1是梯形ABCD的中位线,
∴｜NN1｜＝（｜AD｜＋｜BC｜）/2,
由抛物线定义,有：｜AD｜＝｜AF｜,｜BC｜＝｜BF｜,又∠AFB＝120°,
由余弦定理,有：｜AB｜^2＝｜AF｜^2＋｜BF｜^2－2｜AF｜｜BF｜cos∠AFB
＝｜AD｜^2＋｜BC｜^2－2｜AD｜｜BC｜cos120°
＝｜AD｜^2＋｜BC｜^2＋｜AD｜｜BC｜
∴（｜NN1｜/｜AB｜）^2
＝［（｜AD｜＋｜BC｜）/2］^2/［｜AD｜^2＋｜BC｜^2＋｜AD｜｜BC｜］
＝（1/4）｛1＋｜AD｜｜BC｜/［｜AD｜^2＋｜BC｜^2＋｜AD｜｜BC｜］｝
＝1/4＋1/｛4［AD/BC＋BC/AD＋1］｝
显然,当AD/BC＋BC/AD取得最小值时,（｜NN1｜/｜AB｜）^2有最大值,即｜NN1｜/｜AB｜有最大值.
而AD/BC＋BC/AD的最小值为2,
∴（｜NN1｜/｜AB｜）^2的最大值＝1/4＋1/［4×（2＋1）］＝1/4＋1/12＝1/3
∴｜NN1｜/｜AB｜的最大值为√3/3.
第二题：
c＝√（3－1）＝√2.∴焦点坐标为F1（－√2,0）,F2（√2,0）.
设A的坐标为（√3cosa,sina）,B的坐标为（√3cosb,sinb）,得：
向量F1A＝（√3cosa＋√2,sina）,向量F2B＝（√3cosb－√2,sinb）.
∵向量F1A＝5向量F2B,
∴√3cosa＋√2＝5√3cosb－5√2,sina＝5sinb.
由√3cosa＋√2＝5√3cosb－5√2,得：√3cosa＝5√3cosb－6√2,
∴3（cosa）^2＝25×3（cosb）^2－10×6√6cosb＋36×2
∴3－3（sina）^2＝25×3（cosb）^2－10×6√6cosb＋36×2
∴3－3（5sinb）^2＝25×3（cosb）^2－10×6√6cosb＋36×2
∴3－3×25＝－10×6√6cosb＋36×2
∴10×6√6cosb－36×2＝3×24,∴10√6cosb－6×2＝3×4,∴5√6cosb＝12,
∴25×6［1－（sinb）^2］＝12×12,∴25－25（sinb）^2＝12×2＝24,
∴sinb＝±1/5,∴sina＝±1,∴cosa＝0,得：A的坐标是（0,±1）. 第一题：
过A作AD⊥准线交准线于D,过B作BC⊥准线交准线于C.
∵AN＝BN,显然有：AD∥NN1∥BC,∴NN1是梯形ABCD的中位线,
∴｜NN1｜＝（｜AD｜＋｜BC｜）/2,
由抛物线定义,有：｜AD｜＝｜AF｜,｜BC｜＝｜BF｜,又∠AFB＝120°,
由余弦定理,有：｜AB｜^2＝｜AF｜^2＋｜BF｜^2－2｜AF｜｜BF｜cos∠AFB
＝｜AD｜^2＋｜BC｜^2－2｜AD｜｜BC｜cos120°
＝｜AD｜^2＋｜BC｜^2＋｜AD｜｜BC｜
∴（｜NN1｜/｜AB｜）^2
＝［（｜AD｜＋｜BC｜）/2］^2/［｜AD｜^2＋｜BC｜^2＋｜AD｜｜BC｜］
＝（1/4）｛1＋｜AD｜｜BC｜/［｜AD｜^2＋｜BC｜^2＋｜AD｜｜BC｜］｝
＝1/4＋1/｛4［AD/BC＋BC/AD＋1］｝
显然,当AD/BC＋BC/AD取得最小值时,（｜NN1｜/｜AB｜）^2有最大值,即｜NN1｜/｜AB｜有最大值.
而AD/BC＋BC/AD的最小值为2,
∴（｜NN1｜/｜AB｜）^2的最大值＝1/4＋1/［4×（2＋1）］＝1/4＋1/12＝1/3
∴｜NN1｜/｜AB｜的最大值为√3/3.
第二题：
c＝√（3－1）＝√2.∴焦点坐标为F1（－√2,0）,F2（√2,0）.
设A的坐标为（√3cosa,sina）,B的坐标为（√3cosb,sinb）,得：
向量F1A＝（√3cosa＋√2,sina）,向量F2B＝（√3cosb－√2,sinb）.
∵向量F1A＝5向量F2B,
∴√3cosa＋√2＝5√3cosb－5√2,sina＝5sinb.
由√3cosa＋√2＝5√3cosb－5√2,得：√3cosa＝5√3cosb－6√2,
∴3（cosa）^2＝25×3（cosb）^2－10×6√6cosb＋36×2
∴3－3（sina）^2＝25×3（cosb）^2－10×6√6cosb＋36×2
∴3－3（5sinb）^2＝25×3（cosb）^2－10×6√6cosb＋36×2
∴3－3×25＝－10×6√6cosb＋36×2
∴10×6√6cosb－36×2＝3×24,∴10√6cosb－6×2＝3×4,∴5√6cosb＝12,
∴25×6［1－（sinb）^2］＝12×12,∴25－25（sinb）^2＝12×2＝24,
∴sinb＝±1/5,∴sina＝±1,∴cosa＝0,得：A的坐标是（0,±1）.