当n∈N*时,试猜想2∧N与N∧2的大小关系,并用数学归纳法予以证明
2019-04-14
当n∈N*时,试猜想2∧N与N∧2的大小关系,并用数学归纳法予以证明
优质解答
n=1时,2^n>1^2
n=2时,2^n=n^2
n=3时,2^nn^2
推测n≥5时,2^n>n^2
证明：
1º,n=5时,2^n=32,n^2=25
∴2^n>n^2
2º假设当n=k（≥5）时,命题成立
即2^k>k^2
那么当n=k+1时,
2^(k+1)=2^k×2>2 k² =k²+k²
∵ k≥5时,k²-2k-1=(k-1)²-2 >0
∴k²+k² >k²+2k+1=(k+1)²
∴ 2^(k+1)>(k+1)²
即当n=k+1时,命题成立
由1º2º得,n≥5时,2^n>n^2总成立
n=1时,2^n>1^2
n=2时,2^n=n^2
n=3时,2^nn^2
推测n≥5时,2^n>n^2
证明：
1º,n=5时,2^n=32,n^2=25
∴2^n>n^2
2º假设当n=k（≥5）时,命题成立
即2^k>k^2
那么当n=k+1时,
2^(k+1)=2^k×2>2 k² =k²+k²
∵ k≥5时,k²-2k-1=(k-1)²-2 >0
∴k²+k² >k²+2k+1=(k+1)²
∴ 2^(k+1)>(k+1)²
即当n=k+1时,命题成立
由1º2º得,n≥5时,2^n>n^2总成立