急!数学证明题（初三）（三角函数）任意凸四边形的两条对角线长分别为L1、L2,两条对角线所夹锐角为α,求证：四边形的面积S=1/2*L1*L2*sinα
2019-04-13
急!数学证明题（初三）（三角函数）
任意凸四边形的两条对角线长分别为L1、L2,两条对角线所夹锐角为α,求证：四边形的面积S=1/2*L1*L2*sinα
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证明：设此四边形为ABCD,AB、BC、CD、DA的中点分别为EFGH,由三角形中位线定理得GH=1/2AC,EF=1/2AC,且GH平行AC,EF平行AC,所以四边形EFGH为平行四边形,三角形DGH的面积=1/4S三角形DAC（相似三角形面积之比等于相似比的平方）,同理S三角形BEF=1/4S三角形BAC,所以S三角形DGH+S三角形BEF=1/4S四边形ABCD,同理S三角形AEH+S三角形CGF=1/4S四边形ABCD,所以S平行四边形EFGH=S四边形ABCD-(S三角形DGH+S三角形BEF+S三角形CGF+S三角形AEH）=1/2S四边形ABCD,又S平行四边形EFGH=GF*GH*sin角FGH,因为GH平行AC,GF平行BD,所以角FGH=α,或角FGH=180度-α,所以S平行四边形EFGH=1/2L1*1/2L2*sinα=1/4L1*L2*sinα
所以S=1/2*L1*L2*sinα
证明：设此四边形为ABCD,AB、BC、CD、DA的中点分别为EFGH,由三角形中位线定理得GH=1/2AC,EF=1/2AC,且GH平行AC,EF平行AC,所以四边形EFGH为平行四边形,三角形DGH的面积=1/4S三角形DAC（相似三角形面积之比等于相似比的平方）,同理S三角形BEF=1/4S三角形BAC,所以S三角形DGH+S三角形BEF=1/4S四边形ABCD,同理S三角形AEH+S三角形CGF=1/4S四边形ABCD,所以S平行四边形EFGH=S四边形ABCD-(S三角形DGH+S三角形BEF+S三角形CGF+S三角形AEH）=1/2S四边形ABCD,又S平行四边形EFGH=GF*GH*sin角FGH,因为GH平行AC,GF平行BD,所以角FGH=α,或角FGH=180度-α,所以S平行四边形EFGH=1/2L1*1/2L2*sinα=1/4L1*L2*sinα
所以S=1/2*L1*L2*sinα