数学
今年中考结束后，我与同学们交流了宁波中考数学卷的压轴题，最后我们一致认为，这道题用了一个简单而重要的数学模型“三垂直型”，其实这种“模型”大家并不陌生．如图1，AO⊥BO且AO=BO，由点A和点B向过O点的直线作垂线，可以构成如图两个全等三角形；当这条直线绕点O旋转到直角内部时，仍然能构造出全等三角形！相信同学们认识了这个“模型”的特点后，一定能解决下面的问题：（1）如图3，AD⊥CD，AD⊥AB，若AB=4，CD=6，BC=BE（可以借助图中的辅助线，也可以根据自己所悟，另外画辅助线），你得到阴影部分的

2019-04-13

今年中考结束后，我与同学们交流了宁波中考数学卷的压轴题，最后我们一致认为，这道题用了一个简单而重要的数学模型“三垂直型”，其实这种“模型”大家并不陌生．
如图1，AO⊥BO且AO=BO，由点A和点B向过O点的直线作垂线，可以构成如图两个全等三角形；当这条直线绕点O旋转到直角内部时，仍然能构造出全等三角形！相信同学们认识了这个“模型”的特点后，一定能解决下面的问题：
（1）如图3，AD⊥CD，AD⊥AB，若AB=4，CD=6，BC=BE（可以借助图中的辅助线，也可以根据自己所悟，另外画辅助线），你得到阴影部分的面积是：______．
（2）如图4，点D是Rt△ABC的平分线任一点，连结DA，作DE⊥DA交另一边BC于点E，若DB长是4
2
，AD=DE，则四边形ABED的面积值是：______．
（3）如图5，点B是两个等腰直角三角形的公共顶点，连结DC和AF，若BE⊥CD交CD于E点，延长EB交AF于G点，试证明AG=GF．
优质解答

（1）过B作BF⊥DC于F，过E作EH⊥AB于H，
则AB=DF=4，∠BFC=∠H=∠FBH=90°
∵DC=6，
∴CF=2，
∵∠EBC=∠FBH=90°，
∴∠EBH=∠CBF，
在△BHE和△BFC中
∠EBH＝∠FBC
∠H＝∠BFC
BE＝BC

∴△BHE≌△BFC（AAS），
∴EH=CF=2，
∴阴影部分的面积是
1
2
×4×2=4，
故答案为：4；

（2）过D作DH⊥AB于H，DF⊥BE于F，
则DF=BH，∠DHA=∠DHB=∠EBA=∠DFB=90°，
∴四边形DHBF是矩形，
∵BD平分∠ABE，DF⊥BE，DH⊥AB，
∴DH=DF，
∴四边形DHBF是正方形，
∴DH=BH=DF=BF，
∵BD=4
2
，∠DHB=90°，
∴DH=DF=BH=BF=4，
∵在△ADH和△EDF中
∠ADH＝∠FDE
∠AHD＝∠DFE＝90°
AD＝DE

∴△ADH≌△EDF（AAS），
∴S四边形ABED=S△ADH+S四边形DHBE=S△FDE+S四边形DHBE=S正方形DHBF=4×4=16，
故答案为：16；

（3）证明：过A作AF′⊥EG于F′，过F作FH⊥EG于H，
∵∠BEC=∠ABC=∠AF′B=90°，
∴∠ECB+∠CBE=90°，∠CBE+∠ABF′=90°，
∴∠ECB=∠ABF′，
在△BEC和△AF′B中

（1）过B作BF⊥DC于F，过E作EH⊥AB于H，
则AB=DF=4，∠BFC=∠H=∠FBH=90°
∵DC=6，
∴CF=2，
∵∠EBC=∠FBH=90°，
∴∠EBH=∠CBF，
在△BHE和△BFC中
∠BEC＝∠AF′B
∠ECB＝∠ABF′
BC＝AB
∠EBH＝∠FBC
∠H＝∠BFC
BE＝BC

∴△BHE≌△BFC（AAS），
∴EH=CF=2，
∴阴影部分的面积是
1
2
×4×2=4，
故答案为：4；

（2）过D作DH⊥AB于H，DF⊥BE于F，
则DF=BH，∠DHA=∠DHB=∠EBA=∠DFB=90°，
∴四边形DHBF是矩形，
∵BD平分∠ABE，DF⊥BE，DH⊥AB，
∴DH=DF，
∴四边形DHBF是正方形，
∴DH=BH=DF=BF，
∵BD=4
2
，∠DHB=90°，
∴DH=DF=BH=BF=4，
∵在△ADH和△EDF中
∠ADH＝∠FDE
∠AHD＝∠DFE＝90°
AD＝DE

∴△ADH≌△EDF（AAS），
∴S四边形ABED=S△ADH+S四边形DHBE=S△FDE+S四边形DHBE=S正方形DHBF=4×4=16，
故答案为：16；

（3）证明：过A作AF′⊥EG于F′，过F作FH⊥EG于H，
∵∠BEC=∠ABC=∠AF′B=90°，
∴∠ECB+∠CBE=90°，∠CBE+∠ABF′=90°，
∴∠ECB=∠ABF′，
在△BEC和△AF′B中
相关问答
∠BEC＝∠AF′B
∠ECB＝∠ABF′
BC＝AB