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电场和磁场专题 主讲人：黄冈中学教师 石志国
一、知识归纳总结
（一）场强、电势的概念
1、电场强度E
①定义：放入电场中某点的电荷受的电场力F与它的电量q的比值叫做该点的电场强度.
②数学表达式：E=F/q,单位：V/m
③电场强度E是矢量,规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向即为该点的电场强度的方向.
2、电势、电势差和电势能
①定义：
电势：在电场中某点放一个检验电荷q,若它具有的电势能为E,则该点的电势为电势能与电荷的比值.电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功.也等于该点相对零电势点的电势差.
电势差：电荷在电场中由一点A移到另一点B时,电场力做功WAB与电荷电量q的比值,称为AB两点间的电势差,也叫电压.
电势能：电荷在电场中所具有的势能：在数值上等于将电荷从这一点移到电势能为零处电场力所做的功.
②定义式：单位：V
Ea=q单位：J
③说明：Ⅰ电势具有相对性,与零电势的选择有关,一般以大地或无穷远处电势为零.Ⅱ电势是标量,有正负,其正负表示该的电势与零电势的比较是高还是低.Ⅲ电势是描述电场能的物理量.
（二）静电场中的平衡问题
电场力（库仑力）虽然在本质上不同于重力、弹力、摩擦力,但是产生的效果是服从牛顿力学中的所有规律,所以在计算其大小、方向时应按电场的规律,而在分析力产生的效果时,应根据力学中解题思路进行分析处理.对于静电场中的“平衡”问题,是指带电体的加速度为零的静止或匀速直线运动状态,属于“静力学”的范畴,只是分析带电体受的外力时除重力、弹力、摩擦力等等,还需多一种电场力而已.解题的一般思维程序为：
①明确研究对象
②将研究对象隔离出来,分析其所受的全部外力,其中电场力,要根据电荷的正负及电场的方向来判断.
③根据平衡条件∑F=0或∑Fx=0,∑Fy=0列出方程
④解出方程,求出结果.
（三）电加速和电偏转
1、带电粒子在电场中的加速
在匀强电场中的加速问题一般属于物体受恒力（重力一般不计）作用运动问题.处理的方法有两种：
①根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解
②根据动能定理与电场力做功,运动学公式结合求解
基本方程：
在非匀强电场中的加速问题一般属于物体受变力作用运动问题.处理的方法只能根据动能定理与电场力做功,运动学公式结合求解.
基本方程：
2、带电粒子在电场中的偏转
设极板间的电压为U,两极板间的距离为d,极板长度为L.
运动状态分析：带电粒子垂直于匀强电场的场强方向进入电场后,受到恒定的电场力作用,且与初速度方向垂直,因而做匀变速曲线运动——类似平抛运动如图所示.
运动特点分析：
在垂直电场方向做匀速直线运动
在平行电场方向,做初速度为零的匀加速直线运动
粒子通过电场区的侧移距离：
粒子通过电场区偏转角：
带电粒子从极板的中线射入匀强电场,其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点.所以侧移距离也可表示为：
（四）带电粒子在匀强磁场的运动
1、带电粒子在匀强磁场中运动规律
初速度的特点与运动规律
①v0=0 f洛=0为静止状态
②v‖B f洛=0则粒子做匀速直线运动
③v⊥B f洛=Bqv,则粒子做匀速圆周运动,其基本公式为：
向心力公式：
运动轨道半径公式：
运动周期公式：
2、解题思路及方法
圆运动的圆心的确定：
①利用洛仑兹力的方向永远指向圆心的特点,只要找到圆运动两上点上的洛仑兹力的方向,其延长线的交点必为圆心.
②利用圆上弦的中垂线必过圆心的特点找圆心
（五）粒子在交变电场中的往复运动
当电场强度发生变化时,由于带电粒子在电场中的受力将发生变化,从而使粒子的运动状态发生相应的变化,粒子表现出来的运动形式可能是单向变速直线运动,也可能是变速往复运动.
带电粒子是做单向变速直线运动,还是做变速往复运动主要由粒子的初始状态与电场的变化规律（受力特点）的形式有关.
（六）粒子在复合场中运动
1、在运动的各种方式中,最为熟悉的是以垂直电磁场的方向射入的带电粒子,它将在电磁场中做匀速直线运动,那么,初速v0的大小必为E/B,这就是速度选择器模型,关于这一模型,我们必须清楚,它只能选择速度,而不能选择带电的多少和带电的正负,这在历年高考中都是一个重要方面.
2、带电物体在复合场中的受力分析：带电物体在重力场、电场、磁场中运动时,其运动状态的改变由其受到的合力决定,因此,对运动物体进行受力分析时必须注意以下几点：
①受力分析的顺序：先场力（包括重力、电场力、磁场力）、后弹力、再摩擦力等.
②重力、电场力与物体运动速度无关,由物体的质量决定重力大小,由电场强决定电场力大小；但洛仑兹力的大小与粒子速度有关,方向还与电荷的性质有关.所以必须充分注意到这一点才能正确分析其受力情况,从而正确确定物体运动情况.
3、带电物体在复合场的运动类型：
①匀速运动或静止状态：当带电物体所受的合外力为零时
②匀速圆周运动：当带电物体所受的合外力充当向心力时
③非匀变速曲线运动：当带电物体所受的合力变化且和速度不在一条直线上时
二、典例分析
例1、如图所示,两根长为l的绝缘细线上端固定在O点,下端各悬挂质量为m的带电小球A、B,A、B带电分别为＋q、－q,今在水平向左的方向上加匀强电场,场强E,使连接AB长为l的绝缘细线拉直,并使两球处于静止状态,问,要使两小球处于这种状态,外加电场E的大小应满足什么条件?
解析：
对A进行受力分析,设悬线的拉力为T,水平线的拉力为T′,在竖直方向上受重力和悬线的拉力而平衡：Tcos30°=mg①
在水平方向上,小球受电场力、电荷间的为库仑力、悬线的水平拉力和水平线的拉力而平衡：②
要两球处于题设条件的平衡状态,则对水平线的受力要求为：T′≥0③
联解①②③得到：
例2、（2001年,安徽高考题）一平行板电容器,两板间的距离d和两板面积S都可调节,电容器两极板与电池相连接,以Q表示电容器的电量,E表示两极间的电场强度,则下列说法中正确的是（ ）
A．当d增大,s不变时,Q减小E减小
B．当s增大,d不变时,Q增大E增大
C．当d减小,s增大时,Q增大E增大
D．当s减小,d减小时,Q不变E不变
解析：
由于电容器与电源相连,则电容器两极板的电压不变,根据平行板电容器电容可知,当d增大S不变时,电容C减小；又因可得,电荷量减小；又由可知,场强E减小,故A选项正确；当S增大,d不变时,C增大,Q增大,E不变,所以B选项错误；当d减小,S增大时,C增大,Q增大,E增大,所以C选项正确；当S减小,d减小时,电容C不一定增大,Q也不一定增大,但E一定增大,所以D选项错误.可见本题AC选项正确.
例3、一水平放置的平行板电容器置于真空中,开始时两极板的匀电场的场强大小为E1,这时一带电粒子在电场的正中处于平衡状态.现将两极板间的场强大小由E1突然增大到E2,但保持原来的方向不变,持续一段时间后,突然将电场反向,而保持场强的大小E2不变,再持续一段同样时间后,带电粒子恰好回到最初的位置,已知在整个过程中,粒子并不与极板相碰,求场强E1的值.
解析：
设带电粒子带电为＋q,根据题目条件可知,要使粒子平衡,则下极板带正电,上极板带负电,且有：qE1=mg ①
当电场由E1变到E2,但方向不变时,有E2q>mg,粒子在E2的方向上做匀加速度直线运动,粒子从A运动到B,设加速所用时间为t1,此时E2反向,设粒子的速度为v1,此后粒子向上做加速度为a2减速度运动,直到速度为零,到达B点；此后粒子在电场力和重力作用下做速度为零的匀加速直线运动,加速度大小为a2,回到出发点A.设粒子从B到A的时间为t2.
粒子从B点经C点回到A点,有：
由于v1=a1t1
所以有：
由题意可知：t1=t2联解得：3a1=a2
即：3(qE2－qE1)=qE2＋qE1得到：
例4、如图所示,A、B是一对中间开有小孔的平行金属板,两小孔的连线与金属板面相垂直,两极板的距离为l,两极板间加上低频交流电压,A板电势为零,B板电势u=U0cosωt.现有一电子在t=0时穿过A板上的小孔射入电场.设初速度和重力的影响均可忽略不计,则电子在两极板间可能（高考题）
A．一直向B板运动,最后穿出B板,而不论ω、l为任何值
B．以AB间的某一点为平衡位置来回振动
C．时而向B板运动,时而向A板运动,但最后穿出B板
D．一直向B板运动,最后穿出B板,如果ω小于某个值ω0,l小于某个值l0
解析：
B板电压U=U0cosωt可用图中的图象所示,也就是A、B两板间的电场强度随时间的变化图象也是余弦图线,电子所受到的电场力也是余弦图线.F—t图线与横轴所围的面积是F的冲量,也就是电子获得的动量,由图可知,当t=π/ω时,电子的动量为零,以后将反向向A板运动.所以在t=π/ω的时间内电子在没有穿插出B板,电子就再也不能穿出B板,而只能以AB间的某一点为平衡位置来回振动.若要电子穿出B板,只能在t=π/ω的时间内穿出,这就要求ω要小于某个值ω0,同时l小于某个值l0,电子才能穿出B板.故B、D两选项正确.
例5、如图所示,有一电子束从点a处以一定的水平速度飞向竖直放置的荧光屏,将垂直击中荧光屏上的点b,已知电子的质量为m,电量为q.
（1）若在电子束运行途中加一半径为R的圆形磁场,磁感强度为B,方向垂直于纸面向里,圆心O在点a、b连线上,点0距荧光屏距离为L,为使电子束仍击中荧光屏上的点b,可加一个场强为E的匀强电场,指出此匀强电场的方向和范围,并求出电子束的速度.
（2）现撤去电场,电子束以原速度沿原来方向从a点发射,运动方向在磁场中偏转后击中荧光屏上的点c.求b、c间的距离.
解析：
（1）电子进入磁场时受竖直向下的洛仑兹力,要使电子仍击中b点,电子束必须做匀速直线运动,故电子必受竖直向上的电场力.所加电场方向竖直向下,电场的左右边界面与圆O相切.电子受到的合外力为零,可得evB=eEv=E/B
（2）撤去电场后,电子在磁场中由洛仑兹力提供向心力作半径为r的圆周运动,离开磁场区域做匀速直线运动击中屏上点c,如图所示.
设电子在磁场中偏转的角度为θ,由直角三角形bOc可得b、c间距离s=Ltanθ,由直角三角形ODO′可得圆形磁场区域半径
例6、如图所示,空间分布着宽度为L、场强为E的匀强电场和两磁感应强度大小为B、方向相反的匀强磁场,如图虚线为磁场的分界线,右边磁场范围足够大.质量为m、电荷量为q的离子从A点由静止释放后经电场加速进入磁场,穿过中间磁场后按某一路径能再回到A点而重复前述过程.求：
（1）离子进入磁场时的速度大小和运动半径；
（2）中间磁场的宽度d.
解析：
粒子先在电场中加速,进入中间磁场同上偏转沿圆弧运动,接着进入右边磁场做同样大圆周运动,绕过大半圈,又回到中间磁场,最后沿圆弧回到电场,轨道具有对称特点,在两个磁场中得圆弧半径相等且相切,运动情况如图所示.
电场和磁场专题 主讲人：黄冈中学教师 石志国
一、知识归纳总结
（一）场强、电势的概念
1、电场强度E
①定义：放入电场中某点的电荷受的电场力F与它的电量q的比值叫做该点的电场强度.
②数学表达式：E=F/q,单位：V/m
③电场强度E是矢量,规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向即为该点的电场强度的方向.
2、电势、电势差和电势能
①定义：
电势：在电场中某点放一个检验电荷q,若它具有的电势能为E,则该点的电势为电势能与电荷的比值.电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷由该点移到零电势点时电场力所做的功.也等于该点相对零电势点的电势差.
电势差：电荷在电场中由一点A移到另一点B时,电场力做功WAB与电荷电量q的比值,称为AB两点间的电势差,也叫电压.
电势能：电荷在电场中所具有的势能：在数值上等于将电荷从这一点移到电势能为零处电场力所做的功.
②定义式：单位：V
Ea=q单位：J
③说明：Ⅰ电势具有相对性,与零电势的选择有关,一般以大地或无穷远处电势为零.Ⅱ电势是标量,有正负,其正负表示该的电势与零电势的比较是高还是低.Ⅲ电势是描述电场能的物理量.
（二）静电场中的平衡问题
电场力（库仑力）虽然在本质上不同于重力、弹力、摩擦力,但是产生的效果是服从牛顿力学中的所有规律,所以在计算其大小、方向时应按电场的规律,而在分析力产生的效果时,应根据力学中解题思路进行分析处理.对于静电场中的“平衡”问题,是指带电体的加速度为零的静止或匀速直线运动状态,属于“静力学”的范畴,只是分析带电体受的外力时除重力、弹力、摩擦力等等,还需多一种电场力而已.解题的一般思维程序为：
①明确研究对象
②将研究对象隔离出来,分析其所受的全部外力,其中电场力,要根据电荷的正负及电场的方向来判断.
③根据平衡条件∑F=0或∑Fx=0,∑Fy=0列出方程
④解出方程,求出结果.
（三）电加速和电偏转
1、带电粒子在电场中的加速
在匀强电场中的加速问题一般属于物体受恒力（重力一般不计）作用运动问题.处理的方法有两种：
①根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解
②根据动能定理与电场力做功,运动学公式结合求解
基本方程：
在非匀强电场中的加速问题一般属于物体受变力作用运动问题.处理的方法只能根据动能定理与电场力做功,运动学公式结合求解.
基本方程：
2、带电粒子在电场中的偏转
设极板间的电压为U,两极板间的距离为d,极板长度为L.
运动状态分析：带电粒子垂直于匀强电场的场强方向进入电场后,受到恒定的电场力作用,且与初速度方向垂直,因而做匀变速曲线运动——类似平抛运动如图所示.
运动特点分析：
在垂直电场方向做匀速直线运动
在平行电场方向,做初速度为零的匀加速直线运动
粒子通过电场区的侧移距离：
粒子通过电场区偏转角：
带电粒子从极板的中线射入匀强电场,其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点.所以侧移距离也可表示为：
（四）带电粒子在匀强磁场的运动
1、带电粒子在匀强磁场中运动规律
初速度的特点与运动规律
①v0=0 f洛=0为静止状态
②v‖B f洛=0则粒子做匀速直线运动
③v⊥B f洛=Bqv,则粒子做匀速圆周运动,其基本公式为：
向心力公式：
运动轨道半径公式：
运动周期公式：
2、解题思路及方法
圆运动的圆心的确定：
①利用洛仑兹力的方向永远指向圆心的特点,只要找到圆运动两上点上的洛仑兹力的方向,其延长线的交点必为圆心.
②利用圆上弦的中垂线必过圆心的特点找圆心
（五）粒子在交变电场中的往复运动
当电场强度发生变化时,由于带电粒子在电场中的受力将发生变化,从而使粒子的运动状态发生相应的变化,粒子表现出来的运动形式可能是单向变速直线运动,也可能是变速往复运动.
带电粒子是做单向变速直线运动,还是做变速往复运动主要由粒子的初始状态与电场的变化规律（受力特点）的形式有关.
（六）粒子在复合场中运动
1、在运动的各种方式中,最为熟悉的是以垂直电磁场的方向射入的带电粒子,它将在电磁场中做匀速直线运动,那么,初速v0的大小必为E/B,这就是速度选择器模型,关于这一模型,我们必须清楚,它只能选择速度,而不能选择带电的多少和带电的正负,这在历年高考中都是一个重要方面.
2、带电物体在复合场中的受力分析：带电物体在重力场、电场、磁场中运动时,其运动状态的改变由其受到的合力决定,因此,对运动物体进行受力分析时必须注意以下几点：
①受力分析的顺序：先场力（包括重力、电场力、磁场力）、后弹力、再摩擦力等.
②重力、电场力与物体运动速度无关,由物体的质量决定重力大小,由电场强决定电场力大小；但洛仑兹力的大小与粒子速度有关,方向还与电荷的性质有关.所以必须充分注意到这一点才能正确分析其受力情况,从而正确确定物体运动情况.
3、带电物体在复合场的运动类型：
①匀速运动或静止状态：当带电物体所受的合外力为零时
②匀速圆周运动：当带电物体所受的合外力充当向心力时
③非匀变速曲线运动：当带电物体所受的合力变化且和速度不在一条直线上时
二、典例分析
例1、如图所示,两根长为l的绝缘细线上端固定在O点,下端各悬挂质量为m的带电小球A、B,A、B带电分别为＋q、－q,今在水平向左的方向上加匀强电场,场强E,使连接AB长为l的绝缘细线拉直,并使两球处于静止状态,问,要使两小球处于这种状态,外加电场E的大小应满足什么条件?
解析：
对A进行受力分析,设悬线的拉力为T,水平线的拉力为T′,在竖直方向上受重力和悬线的拉力而平衡：Tcos30°=mg①
在水平方向上,小球受电场力、电荷间的为库仑力、悬线的水平拉力和水平线的拉力而平衡：②
要两球处于题设条件的平衡状态,则对水平线的受力要求为：T′≥0③
联解①②③得到：
例2、（2001年,安徽高考题）一平行板电容器,两板间的距离d和两板面积S都可调节,电容器两极板与电池相连接,以Q表示电容器的电量,E表示两极间的电场强度,则下列说法中正确的是（ ）
A．当d增大,s不变时,Q减小E减小
B．当s增大,d不变时,Q增大E增大
C．当d减小,s增大时,Q增大E增大
D．当s减小,d减小时,Q不变E不变
解析：
由于电容器与电源相连,则电容器两极板的电压不变,根据平行板电容器电容可知,当d增大S不变时,电容C减小；又因可得,电荷量减小；又由可知,场强E减小,故A选项正确；当S增大,d不变时,C增大,Q增大,E不变,所以B选项错误；当d减小,S增大时,C增大,Q增大,E增大,所以C选项正确；当S减小,d减小时,电容C不一定增大,Q也不一定增大,但E一定增大,所以D选项错误.可见本题AC选项正确.
例3、一水平放置的平行板电容器置于真空中,开始时两极板的匀电场的场强大小为E1,这时一带电粒子在电场的正中处于平衡状态.现将两极板间的场强大小由E1突然增大到E2,但保持原来的方向不变,持续一段时间后,突然将电场反向,而保持场强的大小E2不变,再持续一段同样时间后,带电粒子恰好回到最初的位置,已知在整个过程中,粒子并不与极板相碰,求场强E1的值.
解析：
设带电粒子带电为＋q,根据题目条件可知,要使粒子平衡,则下极板带正电,上极板带负电,且有：qE1=mg ①
当电场由E1变到E2,但方向不变时,有E2q>mg,粒子在E2的方向上做匀加速度直线运动,粒子从A运动到B,设加速所用时间为t1,此时E2反向,设粒子的速度为v1,此后粒子向上做加速度为a2减速度运动,直到速度为零,到达B点；此后粒子在电场力和重力作用下做速度为零的匀加速直线运动,加速度大小为a2,回到出发点A.设粒子从B到A的时间为t2.
粒子从B点经C点回到A点,有：
由于v1=a1t1
所以有：
由题意可知：t1=t2联解得：3a1=a2
即：3(qE2－qE1)=qE2＋qE1得到：
例4、如图所示,A、B是一对中间开有小孔的平行金属板,两小孔的连线与金属板面相垂直,两极板的距离为l,两极板间加上低频交流电压,A板电势为零,B板电势u=U0cosωt.现有一电子在t=0时穿过A板上的小孔射入电场.设初速度和重力的影响均可忽略不计,则电子在两极板间可能（高考题）
A．一直向B板运动,最后穿出B板,而不论ω、l为任何值
B．以AB间的某一点为平衡位置来回振动
C．时而向B板运动,时而向A板运动,但最后穿出B板
D．一直向B板运动,最后穿出B板,如果ω小于某个值ω0,l小于某个值l0
解析：
B板电压U=U0cosωt可用图中的图象所示,也就是A、B两板间的电场强度随时间的变化图象也是余弦图线,电子所受到的电场力也是余弦图线.F—t图线与横轴所围的面积是F的冲量,也就是电子获得的动量,由图可知,当t=π/ω时,电子的动量为零,以后将反向向A板运动.所以在t=π/ω的时间内电子在没有穿插出B板,电子就再也不能穿出B板,而只能以AB间的某一点为平衡位置来回振动.若要电子穿出B板,只能在t=π/ω的时间内穿出,这就要求ω要小于某个值ω0,同时l小于某个值l0,电子才能穿出B板.故B、D两选项正确.
例5、如图所示,有一电子束从点a处以一定的水平速度飞向竖直放置的荧光屏,将垂直击中荧光屏上的点b,已知电子的质量为m,电量为q.
（1）若在电子束运行途中加一半径为R的圆形磁场,磁感强度为B,方向垂直于纸面向里,圆心O在点a、b连线上,点0距荧光屏距离为L,为使电子束仍击中荧光屏上的点b,可加一个场强为E的匀强电场,指出此匀强电场的方向和范围,并求出电子束的速度.
（2）现撤去电场,电子束以原速度沿原来方向从a点发射,运动方向在磁场中偏转后击中荧光屏上的点c.求b、c间的距离.
解析：
（1）电子进入磁场时受竖直向下的洛仑兹力,要使电子仍击中b点,电子束必须做匀速直线运动,故电子必受竖直向上的电场力.所加电场方向竖直向下,电场的左右边界面与圆O相切.电子受到的合外力为零,可得evB=eEv=E/B
（2）撤去电场后,电子在磁场中由洛仑兹力提供向心力作半径为r的圆周运动,离开磁场区域做匀速直线运动击中屏上点c,如图所示.
设电子在磁场中偏转的角度为θ,由直角三角形bOc可得b、c间距离s=Ltanθ,由直角三角形ODO′可得圆形磁场区域半径
例6、如图所示,空间分布着宽度为L、场强为E的匀强电场和两磁感应强度大小为B、方向相反的匀强磁场,如图虚线为磁场的分界线,右边磁场范围足够大.质量为m、电荷量为q的离子从A点由静止释放后经电场加速进入磁场,穿过中间磁场后按某一路径能再回到A点而重复前述过程.求：
（1）离子进入磁场时的速度大小和运动半径；
（2）中间磁场的宽度d.
解析：
粒子先在电场中加速,进入中间磁场同上偏转沿圆弧运动,接着进入右边磁场做同样大圆周运动,绕过大半圈,又回到中间磁场,最后沿圆弧回到电场,轨道具有对称特点,在两个磁场中得圆弧半径相等且相切,运动情况如图所示.