微分几何 已知▽1,▽2,……,▽n为微分流型上的联络,f1,f2,...,fn 是无穷阶可导函数且f1+f2+.+fn=1,求证 f1▽1+f2▽2+...fn▽n 也是微分流型上的联络
2019-04-13
微分几何
已知▽1,▽2,……,▽n为微分流型上的联络,f1,f2,...,fn 是无穷阶可导函数且f1+f2+.+fn=1,求证 f1▽1+f2▽2+...fn▽n 也是微分流型上的联络
优质解答
因为排版不方便,我把你那个倒三角写成D好了.
这样D(fX)=df X + f DX,或者写成D_Y (fX) = Y(f) X + f D_Y (X).前一种写法更现代一点,当然也方便在这里排版,所以我就那样写了.
只证明n=2的情况,一般情况类似.这时f1+f2=1.
(f1D1 + f2D2) (fX)
（因为D1和D2都是联络）
= (f1+f2) df X + f (f1D1+f2D2)X
（f1+f2=1）
=df X + f (f1D1+f2D2)X,
所以f1D1+f2D2是联络.
因为排版不方便,我把你那个倒三角写成D好了.
这样D(fX)=df X + f DX,或者写成D_Y (fX) = Y(f) X + f D_Y (X).前一种写法更现代一点,当然也方便在这里排版,所以我就那样写了.
只证明n=2的情况,一般情况类似.这时f1+f2=1.
(f1D1 + f2D2) (fX)
（因为D1和D2都是联络）
= (f1+f2) df X + f (f1D1+f2D2)X
（f1+f2=1）
=df X + f (f1D1+f2D2)X,
所以f1D1+f2D2是联络.