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力和运动关系的两类基本问题
关于运动和力的关系,有两类基本问题,那就是：
① 已知物体的受力情况,确定物体的运动情况；
② 已知物体的运动情况,确定物体的受力情况.
1．\x09从受力确定运动情况
已知物体受力情况确定运动情况,指的是在受力情况已知的条件下,要求判断出物体的运动状态或求出物体的速度和位移.处理这类问题的基本思路是：先分析物体的运动情况求出合力,根据牛顿第二定律求出加速度,再利用运动学的有关公式求出要求的速度和位移.
2．\x09从运动情况确定受力
已知物体运动情况确定受力情况,指的是在运动情况（如物体的运动性质、速度、加速度或位移）已知的条件下,要求得出物体所受的力.处理这类问题的基本思路是：首先分析清楚物体的受力情况,根据运动学公式求出物体的加速度,然后在分析物体受力情况的基础上,利用牛顿第二定律列方程求力.
3．\x09加速度a是联系运动和力的纽带
在牛顿第二定律公式（F=ma）和运动学公式（匀变速直线运动公式v=v0+at, x=v0t+ at2, v2－v02=2ax等）中,均包含有一个共同的物理量——加速度a.
由物体的受力情况,利用牛顿第二定律可以求出加速度,再由运动学公式便可确定物体的运动状态及其变化；反过来,由物体的运动状态及其变化,利用运动学公式可以求出加速度,再由牛顿第二定律便可确定物体的受力情况.
可见,无论是哪种情况,加速度始终是联系运动和力的桥梁.求加速度是解决有关运动和力问题的基本思路,正确的受力分析和运动过程分析则是解决问题的关键.
4．\x09解决力和运动关系问题的一般步骤
牛顿第二定律F=ma,实际上是揭示了力、加速度和质量三个不同物理量之间的关系.方程左边是物体受到的合力,首先要确定研究对象,对物体进行受力分析,求合力的方法可以利用平行四边形定则或正交分解法.方程的右边是物体的质量与加速度的乘积,要确定物体的加速度就必须对物体的运动状态进行分析.
由此可见,应用牛顿第二定律结合运动学公式解决力和运动关系的一般步骤是：
①\x09确定研究对象；
②\x09分析研究对象的受力情况,必要时画受力示意图；
③\x09分析研究对象的运动情况,必要时画运动过程简图；
④\x09利用牛顿第二定律或运动学公式求加速度；
⑤\x09利用运动学公式或牛顿第二定律进一步求解要求的物理量.
6. 教材中两道例题的说明
第1道例题已知物体受力情况确定运动情况,求解时首先对研究的物体进行受力分析,根据牛顿第二定律由合力求出加速度,然后根据物体的运动规律确定了物体的运动情况（末速度和位移）.
第2道例题已知物体运动情况确定受力情况,求解时首先对研究的物体进行运动分析,从运动规律中求出物体运动的加速度,然后根据牛顿第二定律得出物体受到的合力,再对物体进行受力分析求出了某个力（阻力）.
在第2道例题的求解过程中,我们还建立了坐标系.值得注意的是：在运动学中通常是以初速度的方向为坐标轴的正方向,而在利用牛顿第二定律解决问题时,通常则是以加速度的方向为坐标轴的正方向.
应用牛顿运动定律解题的技巧
牛顿运动定律是动力学的基础,也是整个经典物理理论的基础.应用牛顿运动定律解决问题时,要注意掌握必要的解题技巧：
①\x09巧用隔离法 当问题涉及几个物体时,我们常常将这几个物体“隔离”开来,对它们分别进行受力分析,根据其运动状态,应用牛顿第二定律或平衡条件（参见下一节相关内容）列式求解.特别是问题涉及物体间的相互作用时,隔离法不失为一种有效的解题方法.(参阅本节例5)
②\x09巧用整体法 将相互作用的两个或两个以上的物体组成一个整体（系统）作为研究对象,去寻找未知量与已知量之间的关系的方法称为整体法.整体法能减少和避开非待求量,简化解题过程.整体法和隔离法是相辅相成的.(参阅本节例5“点悟”)
③\x09巧建坐标系 通常我们建立坐标系是以加速度的方向作为坐标轴的正方向,有时为减少力的分解,也可巧妙地建立坐标轴,而将加速度分解,应用牛顿第二定律的分量式求解.(参阅本章第3节例5)
④\x09巧用假设法 对物体进行受力分析时,有些力存在与否很难确定,往往用假设推理法可以迅速解决.使用这种方法的基本思路是：假设某力存在（或不存在）,然后利用已知的物理概念和规律进行分析推理,从而肯定或否定所做的假设,得出正确的判断.(参阅本章“综合链接”例4)
⑤\x09巧用程序法 按时间顺序对物体运动过程进行分析的解题方法称为程序法.其基本思路是：先正确划分问题中有多少个不同的运动过程,然后对各个过程进行具体分析,从而得出正确的结论.(参阅本章“亮点题粹”题4)
⑥\x09巧建理想模型 应用牛顿第二定律解题时,往往要建立一些理想模型.例如：将物体看成质点,光滑接触面摩擦力为0,细线、细杆及一般的物体为刚性模型,轻弹簧、橡皮绳为弹性模型等等.(参阅本章第3节例6)
⑦\x09巧析临界状态 在物体运动状态的变化过程中,往往在达到某个特定状态时,有关的物理量将发生突变,此状态称为临界状态.利用临界状态的分析作为解题思路的起点,是一条有效的思考途径.(参阅本章第7节例3)
⑧\x09巧求极值问题 求解极值问题常可采用物理方法和数学方法.建立物理模型,分析物理过程,这是物理解法的特征.数学解法则是先找出物理量的函数关系式,然后直接应用数学方法求的极值.(参阅本章“亮点题粹”题8)
例1 在交通事故的分析中,刹车线的长度是很重要的依据,刹车线是汽车刹车后,停止转动的轮胎在地面上发生滑动时留下的滑动痕迹.在某次交通事故中,汽车的刹车线长度是14 m,假设汽车轮胎与地面间的动摩擦因数恒为0.7,g取10m/s2,则汽车刹车前的速度为（ ）
A. 7 m/s\x09\x09\x09 B. 10 m/s\x09\x09 C. 14 m/s\x09\x09\x09\x09D. 20 m/s
提示 设法求出汽车刹车后滑动的加速度.
解析 设汽车刹车后滑动的加速度大小为a,由牛顿第二定律可得
μmg=ma,a=μg.
由匀变速直线运动速度—位移关系式v02=2ax,可得汽车刹车前的速度为
m/s=14m/s.
正确选项为C.
点悟 本题以交通事故的分析为背景,属于从受力情况确定物体的运动状态的问题.求解此类问题可先由牛顿第二定律求出加速度a,再由匀变速直线运动公式求出相关的运动学量.
例2 蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目,一个质量为60kg的运动员,从离水平网面3.2m高处自由下落,着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.0m高处.已知运动员与网接触的时间为1.2s,若把在这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理,求此力的大小（g取10m/s2）.
提示 将运动员的运动分为下落、触网和蹦回三个阶段研究.
解析 将运动员看作质量为m的质点,从h1高处下落,刚接触网时速度的大小为
（向下）；
弹跳后到达的高度为h2,刚离网时速度的大小为
（向上）.
速度的改变量 Δv＝v1＋v2（向上）.
以a表示加速度,Δ t表示运动员与网接触的时间,则
Δv＝a Δ t.
接触过程中运动员受到向上的弹力F和向下的重力mg,由牛顿第二定律得
F－mg＝ma.
由以上各式解得 ,
代入数值得 F＝1.5×103N.
点悟 本题为从运动状态确定物体的受力情况的问题.求解此类问题可先由匀变速直线运动公式求出加速度a,再由牛顿第二定律求出相关的力.本题与小球落至地面再弹起的传统题属于同一物理模型,但将情景放在蹦床运动中,增加了问题的实践性和趣味性.题中将网对运动员的作用力当作恒力处理,从而可用牛顿第二定律结合匀变速运动公式求解.实际情况作用力应是变力,则求得的是接触时间内网对运动员的平均作用力.
例3 如图4—37所示,一水平传送带长为20m,以2m/s的速度做匀速运动.已知某物体与传送带间的动摩擦因数为0.1,现将该物体由静止轻放到传送带的A端.求物体被送到另一端B点所需的时间.（g 取10m/s2）
提示 本题要计算物体由A到B的时间,分析物体运动过程,有两种可能.一种可能是从静止开始一直加速到B,知道加速度就可求出运动时间；另一种可能是,物体加速一段时间后速度与传送带相同,接着做匀速运动,有两个过程,要分别计算时间.
解析 物体受重力mg、支持力FN和向前的摩擦力F作用,由牛顿第二定律,有
F=ma,
又 FN－mg=0, F=μFN,
解得 a=μg=0.1×10m/s2=1 m/s2.
当物体做匀加速运动达到传送带的速度v=2m/s时,其位移为
m=2m＜20m,
所以物体运动2m后与传送带一起匀速运动.
第一段加速运动时间为 s=2s,
第二段匀速运动时间为 s=9s.
所以,物体在传送带上运动的总时间为
t=t1+t2=2s+9s=11s.
点悟 物体受力情况发生变化,运动情况也将发生变化.此题隐含了两个运动过程,如不仔细审题,分析运动过程,将出现把物体的运动当作匀速运动（没有注意到物体从静止开始放到传送带上）,或把物体的运动始终当作匀加速运动.请将本题与练习巩固（4—1）第7题作一比较.
例4 如图4—38所示,风洞实验室中可产生水平方向的、大小可调解的风力.现将一套有小球的细直杆放入风洞实验室,小球孔径略等大于直径.
（1）当杆在水平方向固定时,调解风力的大小,使小球在杆上做匀速运动,这时小球所受的风力为小球所受重力的0.5倍,求小球与杆间的动摩擦因数.
（2）保持小球所受的风力不变,使杆与水平方向的夹角为370并固定,则小球从静止出发在细杆上滑下距离s所需时间为多少?(sin370=0.6, cos370=0.8)
提示 注意（1）中小球做匀速运动,（2）中小球做匀加速运动,两种情况风力及小球与杆间的动摩擦因数均不变,不要错误地认为滑动摩擦力相同.
解析 (1) 设小球所受风力为F,则 F=0.5mg.
当杆水平固定时,小球做匀速运动,则所受摩擦力Ff与风力F等大反向,即
Ff=F.
又因 Ff=μFN=μmg,
以上三式联立解得小球与杆间的动摩擦因数μ=0.5.
(2) 当杆与水平方向成θ=370角时,小球从静止开始沿杆加速下滑.设下滑距离s所用时间为t,小球受重力mg、风力F、杆的支持力FN’和摩擦力Ff’作用,由牛顿第二定律可得,
沿杆的方向 Fcosθ+mgsinθ－Ff’=ma,
垂直杆的方向 FN’+F sinθ－mgcosθ=0,
又 Ff’= μFN’, F=0.5mg,
解得小球的加速度
.
因 ,
故小球的下滑时间为 .
点悟 本题是牛顿运动定律在科学实验中应用的一个实例,求解时先由水平面上小球做匀速运动时的二力平衡求出动摩擦因数,再分析小球在杆与水平面成370角时的受力情况,根据牛顿第二定律列出方程,求得加速度,再由运动学方程求解.这是一道由运动求力,再由力求运动的典型例题.
发展级
例5 如图4—39所示,箱子放在水平地面上,箱内有一固定的竖直杆,杆上套着一个圆环.箱子的质量为M,环的质量为m,圆环沿杆滑动时与杆间有摩擦.
(1)\x09若环沿杆加速下滑,环与杆间摩擦力的大小为F,则箱子对地面的压力有多大?
(2)\x09若环沿杆下滑的加速度为a,则箱子对地面的压力有多大?
(3)\x09若给环一定的初速度,使环沿杆上滑的过程中摩擦力的大小仍为F,则箱子对地面的压力有多大?
(4)\x09若给环一个初速度v0,环沿杆上滑h高后速度恰好为0,则在环沿杆上滑的过程中箱子对地面的压力有多大?
提示 由于环沿杆下滑和上滑时的加速度与箱子不同,因此应分别以环和箱子为研究对象,分析它们的运动情况和受力情况,并找出它们之间的联系.
解析 (1) 环沿杆下滑时,环受到的摩擦力方向向上,箱子（即杆）受到的摩擦力方向向下,故箱子受到地面的支持力 FN=Mg+F.
根据牛顿第三定律可知,箱子对地面的压力
FN’= FN=Mg+F.
(2) 环以加速度a加速下滑,由牛顿第二定律有
mg－F=ma,
故环受到的摩擦力 F=m(g－a).
直接应用(1)的结果,可得箱子对地面的压力
FN’ =Mg+F=Mg+ m(g－a)=(M+m)g－ma.
(3) 环沿杆上滑时,环受到的摩擦力方向向下,箱子（即杆）受到的摩擦力方向向上,故箱子受到地面的支持力 FN=Mg－F.
根据牛顿第三定律可知,箱子对地面的压力
FN’= FN=Mg－F.
(4) 由运动学公式 v02=2ah,
可得环沿杆上滑做匀减速运动的加速度大小为
,
由牛顿第二定律有 mg+F=ma,
故环受到的摩擦力 F=m(a－g).
直接应用(3)的结果,可得箱子对地面的压力
FN’ =Mg－F=Mg－m(a－g)=(M+m)g－ma=(M+m)g－ .
点悟 上述将圆环和箱子分隔开来,分别对它们进行受力分析和运动分析的方法,称为隔离法.在问题涉及多个物体组成的系统时,常常运用隔离法分析求解.
本题第（2）小题也可采用整体法分析：圆环和箱子组成的系统受重力(M+m)g和地面的支持力FN的作用.因为圆环向下的加速度a应由系统的合外力提供,故有
(M+m)g－FN=ma,
解得 FN=(M+m)g－ma.
由牛顿第三定律可得,箱子对地面的压力
FN’ = FN=(M+m)g－ma.
本题第（4）小题在求得环沿杆上滑做匀减速运动的加速度大小后,也可采用整体法分析,请自行解答.
例6 一个行星探测器从所探测的行星表面竖直升空,探测器的质量为1500 kg,发动机推力恒定.发射升空后9 s末,发动机突然间发生故障而关闭.图4—40是从探测器发射到落回地面全过程的速度图象.已知该行星表面没有大气,不考虑探测器总质量的变化,求：
(1) 探测器在行星表面上升达到的最大高度 H；
(2) 该行星表面附近的重力加速度g；
(3) 发动机正常工作时的推力F.
提示 题给速度图象中,B点时刻是速度正负的转折点,故B点时刻探测器升至最大高度；A点时刻是加速度正负的转折点,故A点时刻是发动机刚关闭的时刻.
解析 (1) 0～25s内探测器一直处于上升阶段,上升的最大高度在数值上等于△OAB的面积,即 H= ×25×64 m=800 m.\x09\x09\x09\x09
(2) 9 s末发动机关闭,此后探测器只受重力作用,故在这一阶段的加速度即为该行星表面的重力加速度,由图象得 g= = m/s2=4 m/s2,\x09\x09\x09\x09\x09\x09
(3) 由图象知探测器加速上升阶段探测器的加速度为
a= m/s2,
根据牛顿运动定律,得 F－mg=ma,
所以发动机正常工作时的推力 F=m(g+a)=1.67×104 N.\x09\x09\x09\x09\x09\x09
点悟 本题是应用牛顿运动定律求解的图象类问题,仍属于已知运动求力的问题,只是将物体的运动情况由图象反映出来.此类问题求解的关键是,要根据图象的特点,挖掘图象中的隐含条件,把图象与物体的实际运动对应起来进行研究.
力和运动关系的两类基本问题
关于运动和力的关系,有两类基本问题,那就是：
① 已知物体的受力情况,确定物体的运动情况；
② 已知物体的运动情况,确定物体的受力情况.
1．\x09从受力确定运动情况
已知物体受力情况确定运动情况,指的是在受力情况已知的条件下,要求判断出物体的运动状态或求出物体的速度和位移.处理这类问题的基本思路是：先分析物体的运动情况求出合力,根据牛顿第二定律求出加速度,再利用运动学的有关公式求出要求的速度和位移.
2．\x09从运动情况确定受力
已知物体运动情况确定受力情况,指的是在运动情况（如物体的运动性质、速度、加速度或位移）已知的条件下,要求得出物体所受的力.处理这类问题的基本思路是：首先分析清楚物体的受力情况,根据运动学公式求出物体的加速度,然后在分析物体受力情况的基础上,利用牛顿第二定律列方程求力.
3．\x09加速度a是联系运动和力的纽带
在牛顿第二定律公式（F=ma）和运动学公式（匀变速直线运动公式v=v0+at, x=v0t+ at2, v2－v02=2ax等）中,均包含有一个共同的物理量——加速度a.
由物体的受力情况,利用牛顿第二定律可以求出加速度,再由运动学公式便可确定物体的运动状态及其变化；反过来,由物体的运动状态及其变化,利用运动学公式可以求出加速度,再由牛顿第二定律便可确定物体的受力情况.
可见,无论是哪种情况,加速度始终是联系运动和力的桥梁.求加速度是解决有关运动和力问题的基本思路,正确的受力分析和运动过程分析则是解决问题的关键.
4．\x09解决力和运动关系问题的一般步骤
牛顿第二定律F=ma,实际上是揭示了力、加速度和质量三个不同物理量之间的关系.方程左边是物体受到的合力,首先要确定研究对象,对物体进行受力分析,求合力的方法可以利用平行四边形定则或正交分解法.方程的右边是物体的质量与加速度的乘积,要确定物体的加速度就必须对物体的运动状态进行分析.
由此可见,应用牛顿第二定律结合运动学公式解决力和运动关系的一般步骤是：
①\x09确定研究对象；
②\x09分析研究对象的受力情况,必要时画受力示意图；
③\x09分析研究对象的运动情况,必要时画运动过程简图；
④\x09利用牛顿第二定律或运动学公式求加速度；
⑤\x09利用运动学公式或牛顿第二定律进一步求解要求的物理量.
6. 教材中两道例题的说明
第1道例题已知物体受力情况确定运动情况,求解时首先对研究的物体进行受力分析,根据牛顿第二定律由合力求出加速度,然后根据物体的运动规律确定了物体的运动情况（末速度和位移）.
第2道例题已知物体运动情况确定受力情况,求解时首先对研究的物体进行运动分析,从运动规律中求出物体运动的加速度,然后根据牛顿第二定律得出物体受到的合力,再对物体进行受力分析求出了某个力（阻力）.
在第2道例题的求解过程中,我们还建立了坐标系.值得注意的是：在运动学中通常是以初速度的方向为坐标轴的正方向,而在利用牛顿第二定律解决问题时,通常则是以加速度的方向为坐标轴的正方向.
应用牛顿运动定律解题的技巧
牛顿运动定律是动力学的基础,也是整个经典物理理论的基础.应用牛顿运动定律解决问题时,要注意掌握必要的解题技巧：
①\x09巧用隔离法 当问题涉及几个物体时,我们常常将这几个物体“隔离”开来,对它们分别进行受力分析,根据其运动状态,应用牛顿第二定律或平衡条件（参见下一节相关内容）列式求解.特别是问题涉及物体间的相互作用时,隔离法不失为一种有效的解题方法.(参阅本节例5)
②\x09巧用整体法 将相互作用的两个或两个以上的物体组成一个整体（系统）作为研究对象,去寻找未知量与已知量之间的关系的方法称为整体法.整体法能减少和避开非待求量,简化解题过程.整体法和隔离法是相辅相成的.(参阅本节例5“点悟”)
③\x09巧建坐标系 通常我们建立坐标系是以加速度的方向作为坐标轴的正方向,有时为减少力的分解,也可巧妙地建立坐标轴,而将加速度分解,应用牛顿第二定律的分量式求解.(参阅本章第3节例5)
④\x09巧用假设法 对物体进行受力分析时,有些力存在与否很难确定,往往用假设推理法可以迅速解决.使用这种方法的基本思路是：假设某力存在（或不存在）,然后利用已知的物理概念和规律进行分析推理,从而肯定或否定所做的假设,得出正确的判断.(参阅本章“综合链接”例4)
⑤\x09巧用程序法 按时间顺序对物体运动过程进行分析的解题方法称为程序法.其基本思路是：先正确划分问题中有多少个不同的运动过程,然后对各个过程进行具体分析,从而得出正确的结论.(参阅本章“亮点题粹”题4)
⑥\x09巧建理想模型 应用牛顿第二定律解题时,往往要建立一些理想模型.例如：将物体看成质点,光滑接触面摩擦力为0,细线、细杆及一般的物体为刚性模型,轻弹簧、橡皮绳为弹性模型等等.(参阅本章第3节例6)
⑦\x09巧析临界状态 在物体运动状态的变化过程中,往往在达到某个特定状态时,有关的物理量将发生突变,此状态称为临界状态.利用临界状态的分析作为解题思路的起点,是一条有效的思考途径.(参阅本章第7节例3)
⑧\x09巧求极值问题 求解极值问题常可采用物理方法和数学方法.建立物理模型,分析物理过程,这是物理解法的特征.数学解法则是先找出物理量的函数关系式,然后直接应用数学方法求的极值.(参阅本章“亮点题粹”题8)
例1 在交通事故的分析中,刹车线的长度是很重要的依据,刹车线是汽车刹车后,停止转动的轮胎在地面上发生滑动时留下的滑动痕迹.在某次交通事故中,汽车的刹车线长度是14 m,假设汽车轮胎与地面间的动摩擦因数恒为0.7,g取10m/s2,则汽车刹车前的速度为（ ）
A. 7 m/s\x09\x09\x09 B. 10 m/s\x09\x09 C. 14 m/s\x09\x09\x09\x09D. 20 m/s
提示 设法求出汽车刹车后滑动的加速度.
解析 设汽车刹车后滑动的加速度大小为a,由牛顿第二定律可得
μmg=ma,a=μg.
由匀变速直线运动速度—位移关系式v02=2ax,可得汽车刹车前的速度为
m/s=14m/s.
正确选项为C.
点悟 本题以交通事故的分析为背景,属于从受力情况确定物体的运动状态的问题.求解此类问题可先由牛顿第二定律求出加速度a,再由匀变速直线运动公式求出相关的运动学量.
例2 蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目,一个质量为60kg的运动员,从离水平网面3.2m高处自由下落,着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.0m高处.已知运动员与网接触的时间为1.2s,若把在这段时间内网对运动员的作用力当作恒力处理,求此力的大小（g取10m/s2）.
提示 将运动员的运动分为下落、触网和蹦回三个阶段研究.
解析 将运动员看作质量为m的质点,从h1高处下落,刚接触网时速度的大小为
（向下）；
弹跳后到达的高度为h2,刚离网时速度的大小为
（向上）.
速度的改变量 Δv＝v1＋v2（向上）.
以a表示加速度,Δ t表示运动员与网接触的时间,则
Δv＝a Δ t.
接触过程中运动员受到向上的弹力F和向下的重力mg,由牛顿第二定律得
F－mg＝ma.
由以上各式解得 ,
代入数值得 F＝1.5×103N.
点悟 本题为从运动状态确定物体的受力情况的问题.求解此类问题可先由匀变速直线运动公式求出加速度a,再由牛顿第二定律求出相关的力.本题与小球落至地面再弹起的传统题属于同一物理模型,但将情景放在蹦床运动中,增加了问题的实践性和趣味性.题中将网对运动员的作用力当作恒力处理,从而可用牛顿第二定律结合匀变速运动公式求解.实际情况作用力应是变力,则求得的是接触时间内网对运动员的平均作用力.
例3 如图4—37所示,一水平传送带长为20m,以2m/s的速度做匀速运动.已知某物体与传送带间的动摩擦因数为0.1,现将该物体由静止轻放到传送带的A端.求物体被送到另一端B点所需的时间.（g 取10m/s2）
提示 本题要计算物体由A到B的时间,分析物体运动过程,有两种可能.一种可能是从静止开始一直加速到B,知道加速度就可求出运动时间；另一种可能是,物体加速一段时间后速度与传送带相同,接着做匀速运动,有两个过程,要分别计算时间.
解析 物体受重力mg、支持力FN和向前的摩擦力F作用,由牛顿第二定律,有
F=ma,
又 FN－mg=0, F=μFN,
解得 a=μg=0.1×10m/s2=1 m/s2.
当物体做匀加速运动达到传送带的速度v=2m/s时,其位移为
m=2m＜20m,
所以物体运动2m后与传送带一起匀速运动.
第一段加速运动时间为 s=2s,
第二段匀速运动时间为 s=9s.
所以,物体在传送带上运动的总时间为
t=t1+t2=2s+9s=11s.
点悟 物体受力情况发生变化,运动情况也将发生变化.此题隐含了两个运动过程,如不仔细审题,分析运动过程,将出现把物体的运动当作匀速运动（没有注意到物体从静止开始放到传送带上）,或把物体的运动始终当作匀加速运动.请将本题与练习巩固（4—1）第7题作一比较.
例4 如图4—38所示,风洞实验室中可产生水平方向的、大小可调解的风力.现将一套有小球的细直杆放入风洞实验室,小球孔径略等大于直径.
（1）当杆在水平方向固定时,调解风力的大小,使小球在杆上做匀速运动,这时小球所受的风力为小球所受重力的0.5倍,求小球与杆间的动摩擦因数.
（2）保持小球所受的风力不变,使杆与水平方向的夹角为370并固定,则小球从静止出发在细杆上滑下距离s所需时间为多少?(sin370=0.6, cos370=0.8)
提示 注意（1）中小球做匀速运动,（2）中小球做匀加速运动,两种情况风力及小球与杆间的动摩擦因数均不变,不要错误地认为滑动摩擦力相同.
解析 (1) 设小球所受风力为F,则 F=0.5mg.
当杆水平固定时,小球做匀速运动,则所受摩擦力Ff与风力F等大反向,即
Ff=F.
又因 Ff=μFN=μmg,
以上三式联立解得小球与杆间的动摩擦因数μ=0.5.
(2) 当杆与水平方向成θ=370角时,小球从静止开始沿杆加速下滑.设下滑距离s所用时间为t,小球受重力mg、风力F、杆的支持力FN’和摩擦力Ff’作用,由牛顿第二定律可得,
沿杆的方向 Fcosθ+mgsinθ－Ff’=ma,
垂直杆的方向 FN’+F sinθ－mgcosθ=0,
又 Ff’= μFN’, F=0.5mg,
解得小球的加速度
.
因 ,
故小球的下滑时间为 .
点悟 本题是牛顿运动定律在科学实验中应用的一个实例,求解时先由水平面上小球做匀速运动时的二力平衡求出动摩擦因数,再分析小球在杆与水平面成370角时的受力情况,根据牛顿第二定律列出方程,求得加速度,再由运动学方程求解.这是一道由运动求力,再由力求运动的典型例题.
发展级
例5 如图4—39所示,箱子放在水平地面上,箱内有一固定的竖直杆,杆上套着一个圆环.箱子的质量为M,环的质量为m,圆环沿杆滑动时与杆间有摩擦.
(1)\x09若环沿杆加速下滑,环与杆间摩擦力的大小为F,则箱子对地面的压力有多大?
(2)\x09若环沿杆下滑的加速度为a,则箱子对地面的压力有多大?
(3)\x09若给环一定的初速度,使环沿杆上滑的过程中摩擦力的大小仍为F,则箱子对地面的压力有多大?
(4)\x09若给环一个初速度v0,环沿杆上滑h高后速度恰好为0,则在环沿杆上滑的过程中箱子对地面的压力有多大?
提示 由于环沿杆下滑和上滑时的加速度与箱子不同,因此应分别以环和箱子为研究对象,分析它们的运动情况和受力情况,并找出它们之间的联系.
解析 (1) 环沿杆下滑时,环受到的摩擦力方向向上,箱子（即杆）受到的摩擦力方向向下,故箱子受到地面的支持力 FN=Mg+F.
根据牛顿第三定律可知,箱子对地面的压力
FN’= FN=Mg+F.
(2) 环以加速度a加速下滑,由牛顿第二定律有
mg－F=ma,
故环受到的摩擦力 F=m(g－a).
直接应用(1)的结果,可得箱子对地面的压力
FN’ =Mg+F=Mg+ m(g－a)=(M+m)g－ma.
(3) 环沿杆上滑时,环受到的摩擦力方向向下,箱子（即杆）受到的摩擦力方向向上,故箱子受到地面的支持力 FN=Mg－F.
根据牛顿第三定律可知,箱子对地面的压力
FN’= FN=Mg－F.
(4) 由运动学公式 v02=2ah,
可得环沿杆上滑做匀减速运动的加速度大小为
,
由牛顿第二定律有 mg+F=ma,
故环受到的摩擦力 F=m(a－g).
直接应用(3)的结果,可得箱子对地面的压力
FN’ =Mg－F=Mg－m(a－g)=(M+m)g－ma=(M+m)g－ .
点悟 上述将圆环和箱子分隔开来,分别对它们进行受力分析和运动分析的方法,称为隔离法.在问题涉及多个物体组成的系统时,常常运用隔离法分析求解.
本题第（2）小题也可采用整体法分析：圆环和箱子组成的系统受重力(M+m)g和地面的支持力FN的作用.因为圆环向下的加速度a应由系统的合外力提供,故有
(M+m)g－FN=ma,
解得 FN=(M+m)g－ma.
由牛顿第三定律可得,箱子对地面的压力
FN’ = FN=(M+m)g－ma.
本题第（4）小题在求得环沿杆上滑做匀减速运动的加速度大小后,也可采用整体法分析,请自行解答.
例6 一个行星探测器从所探测的行星表面竖直升空,探测器的质量为1500 kg,发动机推力恒定.发射升空后9 s末,发动机突然间发生故障而关闭.图4—40是从探测器发射到落回地面全过程的速度图象.已知该行星表面没有大气,不考虑探测器总质量的变化,求：
(1) 探测器在行星表面上升达到的最大高度 H；
(2) 该行星表面附近的重力加速度g；
(3) 发动机正常工作时的推力F.
提示 题给速度图象中,B点时刻是速度正负的转折点,故B点时刻探测器升至最大高度；A点时刻是加速度正负的转折点,故A点时刻是发动机刚关闭的时刻.
解析 (1) 0～25s内探测器一直处于上升阶段,上升的最大高度在数值上等于△OAB的面积,即 H= ×25×64 m=800 m.\x09\x09\x09\x09
(2) 9 s末发动机关闭,此后探测器只受重力作用,故在这一阶段的加速度即为该行星表面的重力加速度,由图象得 g= = m/s2=4 m/s2,\x09\x09\x09\x09\x09\x09
(3) 由图象知探测器加速上升阶段探测器的加速度为
a= m/s2,
根据牛顿运动定律,得 F－mg=ma,
所以发动机正常工作时的推力 F=m(g+a)=1.67×104 N.\x09\x09\x09\x09\x09\x09
点悟 本题是应用牛顿运动定律求解的图象类问题,仍属于已知运动求力的问题,只是将物体的运动情况由图象反映出来.此类问题求解的关键是,要根据图象的特点,挖掘图象中的隐含条件,把图象与物体的实际运动对应起来进行研究.