1. 一列火车经过南京长江大桥,大桥长6700米,这列火车长140米,火车每分钟行400米,这列火车通过长江大桥需要多少分钟?
分析：这道题求的是通过时间.根据数量关系式,我们知道要想求通过时间,就要知道路程和速度.路程是用桥长加上车长.火车的速度是已知条件.
总路程： （米）
通过时间： （分钟）
答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟.
2. 一列火车长200米,全车通过长700米的桥需要30秒钟,这列火车每秒行多少米?
分析与这是一道求车速的过桥问题.我们知道,要想求车速,我们就要知道路程和通过时间这两个条件.可以用已知条件桥长和车长求出路程,通过时间也是已知条件,所以车速可以很方便求出.
总路程： （米）
火车速度： （米）
答：这列火车每秒行30米.
3. 一列火车长240米,这列火车每秒行15米,从车头进山洞到全车出山洞共用20秒,山洞长多少米?
分析与火车过山洞和火车过桥的思路是一样的.火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当于车尾下桥.这道题求山洞的长度也就相当于求桥长,我们就必须知道总路程和车长,车长是已知条件,那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程.
总路程：
山洞长： （米）
答：这个山洞长60米.
和倍问题
1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍,问秦奋和妈妈各是多少岁?
我们把秦奋的年龄作为1倍,“妈妈的年龄是秦奋的4倍”,这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的5倍是40岁,也就是（4＋1）倍,也可以理解为5份是40岁,那么求1倍是多少,接着再求4倍是多少?
（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍）
（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁
（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁
综合：40÷（4＋1）＝8岁 8×4＝32岁
为了保证此题的正确,验证
（1）8＋32＝40岁 （2）32÷8＝4（倍）
计算结果符合条件,所以解题正确.
2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行,3小时共飞行3600千米,甲的速度是乙的2倍,求它们的速度各是多少?
已知两架飞机3小时共飞行3600千米,就可以求出两架飞机每小时飞行的航程,也就是两架飞机的速度和.看图可知,这个速度和相当于乙飞机速度的3倍,这样就可以求出乙飞机的速度,再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度.
甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米.
3. 弟弟有课外书20本,哥哥有课外书25本,哥哥给弟弟多少本后,弟弟的课外书是哥哥的2倍?
思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后,题目中不变的数量是什么?
（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书,需要知道什么条件?
（3）如果把哥哥剩下的课外书看作1倍,那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的几倍?
思考以上几个问题的基础上,再求哥哥应该给弟弟多少本课外书.根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书.如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍,那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的2倍,也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍,而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量.
（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45.
（2）哥哥给弟弟若干本课外书后,兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3.
（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15.
（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10.
试着列出综合算式：
4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨,后来从甲库运出30吨,给乙库运进10吨,这时甲库存粮是乙库存粮的2倍,两个粮库原来各存粮多少吨?
根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨,后来从甲库运出30吨,给乙库运进10吨,可求出这时甲、乙两库共存粮多少吨.根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍”,如果这时把乙库存粮作为1倍,那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3倍.于是求出这时乙库存粮多少吨,进而可求出乙库原来存粮多少吨.最后就可求出甲库原来存粮多少吨.
甲库原存粮130吨,乙库原存粮40吨.
【例1】一个小组共有13名同学,其中至少有2名同学同一个月过生日.为什么?
【分析】每年里共有12个月,任何一个人的生日,一定在其中的某一个月.如果把这12个月看成12个“抽屉”,把13名同学的生日看成13只“苹果”,把13只苹果放进12个抽屉里,一定有一个抽屉里至少放2个苹果,也就是说,至少有2名同学在同一个月过生日.
【例 2】任意4个自然数,其中至少有两个数的差是3的倍数.这是为什么?
【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同,那么这两个自然数的差是3的倍数.而任何一个自然数被3除的余数,或者是0,或者是1,或者是2,根据这三种情况,可以把自然数分成3类,这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”.我们把4个数看作“苹果”,根据抽屉原理,必定有一个抽屉里至少有2个数.换句话说,4个自然数分成3类,至少有两个是同一类.既然是同一类,那么这两个数被3除的余数就一定相同.所以,任意4个自然数,至少有2个自然数的差是3的倍数.
【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内,试问不论如何取,从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）?
【分析与解】试想一下,从箱中取出6只、9只袜子,能配成3双袜子吗?回答是否定的.
按5种颜色制作5个抽屉,根据抽屉原理1,只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只,这2只就可配成一双.拿走这一双,尚剩4只,如果再补进2只又成6只,再根据抽屉原理1,又可配成一双拿走.如果再补进2只,又可取得第3双.所以,至少要取6＋2＋2=10只袜子,就一定会配成3双.
思考：1.能用抽屉原理2,直接得到结果吗?
2.把题中的要求改为3双不同色袜子,至少应取出多少只?
3.把题中的要求改为3双同色袜子,又如何?
【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球,其中白、黄、红三种颜色球各有10个,另外还有3个蓝色球、2个绿色球,试问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球?
【分析与解】从最“不利”的取出情况入手.
最不利的情况是首先取出的5个球中,有3个是蓝色球、2个绿色球.
接下来,把白、黄、红三色看作三个抽屉,由于这三种颜色球相等均超过4个,所以,根据抽屉原理2,只要取出的球数多于（4-1）×3=9个,即至少应取出10个球,就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球.
故总共至少应取出10＋5=15个球,才能符合要求.
思考：把题中要求改为4个不同色,或者是两两同色,情形又如何?
当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有,至少有几个”这样的问题时,想到它——抽屉原理,这是你的一条“决胜”之路.
．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种,问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的?
2．有四种颜色的积木若干,每人可任取1-2件,至少有几个人去取,才能保证有3．某盒子内装50只球,其中10只是红色,10只是绿色,10只是黄色,10只是蓝色,其余是白球和黑球,为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球,问：最少必须从袋中取出多少只球?
1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树,A地要植900棵,B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24,30,32棵,甲在A地植树,丙在B地植树,乙先在A地植树,然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束,乙应在开始后第几天从A地转到B地?
2. 有三块草地,面积分别是5,15,24亩.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天?
3. 某工程,由甲、乙两队承包,2.4天可以完成,需支付1800元；由乙、丙两队承包,3+3/4天可以完成,需支付1500元；由甲、丙两队承包,2+6/7天可以完成,需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下,选择哪个队单独承包费用最少?
4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米,求长方体的底面面积和容器底面面积之比.
5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装,乙购进的套数比甲多1/5,然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后,甲仍比乙多获得一部分利润,这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套,甲原来购进这种时装多少套?
6. 有甲、乙两根水管,分别同时给A,B两个大小相同的水池注水,在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5.经过2+1/3小时,A,B两池中注入的水之和恰好是一池.这时,甲管注水速度提高25%,乙管的注水速度不变,那么,当甲管注满A池时,乙管再经过多少小时注满B池?
7. 小明早上从家步行去学校,走完一半路程时,爸爸发现小明的数学书丢在家里,随即骑车去给小明送书,追上时,小明还有3/10的路程未走完,小明随即上了爸爸的车,由爸爸送往学校,这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间?
8. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地,A,B两地的距离等于B,C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟,但在B地停留了7分钟,甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时,甲车就超过乙车.
9. 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时,乙车单独清扫需要15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫12千米,问东、西两城相距多少千米?
10. 今有重量为3吨的集装箱4个,重量为2.5吨的集装箱5个,重量为1.5吨的集装箱14个,重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱? 1. 一列火车经过南京长江大桥,大桥长6700米,这列火车长140米,火车每分钟行400米,这列火车通过长江大桥需要多少分钟?
分析：这道题求的是通过时间.根据数量关系式,我们知道要想求通过时间,就要知道路程和速度.路程是用桥长加上车长.火车的速度是已知条件.
总路程： （米）
通过时间： （分钟）
答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟.
2. 一列火车长200米,全车通过长700米的桥需要30秒钟,这列火车每秒行多少米?
分析与这是一道求车速的过桥问题.我们知道,要想求车速,我们就要知道路程和通过时间这两个条件.可以用已知条件桥长和车长求出路程,通过时间也是已知条件,所以车速可以很方便求出.
总路程： （米）
火车速度： （米）
答：这列火车每秒行30米.
3. 一列火车长240米,这列火车每秒行15米,从车头进山洞到全车出山洞共用20秒,山洞长多少米?
分析与火车过山洞和火车过桥的思路是一样的.火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当于车尾下桥.这道题求山洞的长度也就相当于求桥长,我们就必须知道总路程和车长,车长是已知条件,那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程.
总路程：
山洞长： （米）
答：这个山洞长60米.
和倍问题
1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍,问秦奋和妈妈各是多少岁?
我们把秦奋的年龄作为1倍,“妈妈的年龄是秦奋的4倍”,这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的5倍是40岁,也就是（4＋1）倍,也可以理解为5份是40岁,那么求1倍是多少,接着再求4倍是多少?
（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍）
（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁
（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁
综合：40÷（4＋1）＝8岁 8×4＝32岁
为了保证此题的正确,验证
（1）8＋32＝40岁 （2）32÷8＝4（倍）
计算结果符合条件,所以解题正确.
2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行,3小时共飞行3600千米,甲的速度是乙的2倍,求它们的速度各是多少?
已知两架飞机3小时共飞行3600千米,就可以求出两架飞机每小时飞行的航程,也就是两架飞机的速度和.看图可知,这个速度和相当于乙飞机速度的3倍,这样就可以求出乙飞机的速度,再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度.
甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米.
3. 弟弟有课外书20本,哥哥有课外书25本,哥哥给弟弟多少本后,弟弟的课外书是哥哥的2倍?
思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后,题目中不变的数量是什么?
（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书,需要知道什么条件?
（3）如果把哥哥剩下的课外书看作1倍,那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的几倍?
思考以上几个问题的基础上,再求哥哥应该给弟弟多少本课外书.根据条件需要先求出哥哥剩下多少本课外书.如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍,那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的2倍,也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍,而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量.
（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45.
（2）哥哥给弟弟若干本课外书后,兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3.
（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15.
（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10.
试着列出综合算式：
4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨,后来从甲库运出30吨,给乙库运进10吨,这时甲库存粮是乙库存粮的2倍,两个粮库原来各存粮多少吨?
根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨,后来从甲库运出30吨,给乙库运进10吨,可求出这时甲、乙两库共存粮多少吨.根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍”,如果这时把乙库存粮作为1倍,那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3倍.于是求出这时乙库存粮多少吨,进而可求出乙库原来存粮多少吨.最后就可求出甲库原来存粮多少吨.
甲库原存粮130吨,乙库原存粮40吨.
【例1】一个小组共有13名同学,其中至少有2名同学同一个月过生日.为什么?
【分析】每年里共有12个月,任何一个人的生日,一定在其中的某一个月.如果把这12个月看成12个“抽屉”,把13名同学的生日看成13只“苹果”,把13只苹果放进12个抽屉里,一定有一个抽屉里至少放2个苹果,也就是说,至少有2名同学在同一个月过生日.
【例 2】任意4个自然数,其中至少有两个数的差是3的倍数.这是为什么?
【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同,那么这两个自然数的差是3的倍数.而任何一个自然数被3除的余数,或者是0,或者是1,或者是2,根据这三种情况,可以把自然数分成3类,这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”.我们把4个数看作“苹果”,根据抽屉原理,必定有一个抽屉里至少有2个数.换句话说,4个自然数分成3类,至少有两个是同一类.既然是同一类,那么这两个数被3除的余数就一定相同.所以,任意4个自然数,至少有2个自然数的差是3的倍数.
【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内,试问不论如何取,从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）?
【分析与解】试想一下,从箱中取出6只、9只袜子,能配成3双袜子吗?回答是否定的.
按5种颜色制作5个抽屉,根据抽屉原理1,只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只,这2只就可配成一双.拿走这一双,尚剩4只,如果再补进2只又成6只,再根据抽屉原理1,又可配成一双拿走.如果再补进2只,又可取得第3双.所以,至少要取6＋2＋2=10只袜子,就一定会配成3双.
思考：1.能用抽屉原理2,直接得到结果吗?
2.把题中的要求改为3双不同色袜子,至少应取出多少只?
3.把题中的要求改为3双同色袜子,又如何?
【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球,其中白、黄、红三种颜色球各有10个,另外还有3个蓝色球、2个绿色球,试问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球?
【分析与解】从最“不利”的取出情况入手.
最不利的情况是首先取出的5个球中,有3个是蓝色球、2个绿色球.
接下来,把白、黄、红三色看作三个抽屉,由于这三种颜色球相等均超过4个,所以,根据抽屉原理2,只要取出的球数多于（4-1）×3=9个,即至少应取出10个球,就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球.
故总共至少应取出10＋5=15个球,才能符合要求.
思考：把题中要求改为4个不同色,或者是两两同色,情形又如何?
当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有,至少有几个”这样的问题时,想到它——抽屉原理,这是你的一条“决胜”之路.
．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种,问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的?
2．有四种颜色的积木若干,每人可任取1-2件,至少有几个人去取,才能保证有3．某盒子内装50只球,其中10只是红色,10只是绿色,10只是黄色,10只是蓝色,其余是白球和黑球,为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球,问：最少必须从袋中取出多少只球?
1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树,A地要植900棵,B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24,30,32棵,甲在A地植树,丙在B地植树,乙先在A地植树,然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束,乙应在开始后第几天从A地转到B地?
2. 有三块草地,面积分别是5,15,24亩.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天?
3. 某工程,由甲、乙两队承包,2.4天可以完成,需支付1800元；由乙、丙两队承包,3+3/4天可以完成,需支付1500元；由甲、丙两队承包,2+6/7天可以完成,需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下,选择哪个队单独承包费用最少?
4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米,求长方体的底面面积和容器底面面积之比.
5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装,乙购进的套数比甲多1/5,然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后,甲仍比乙多获得一部分利润,这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套,甲原来购进这种时装多少套?
6. 有甲、乙两根水管,分别同时给A,B两个大小相同的水池注水,在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5.经过2+1/3小时,A,B两池中注入的水之和恰好是一池.这时,甲管注水速度提高25%,乙管的注水速度不变,那么,当甲管注满A池时,乙管再经过多少小时注满B池?
7. 小明早上从家步行去学校,走完一半路程时,爸爸发现小明的数学书丢在家里,随即骑车去给小明送书,追上时,小明还有3/10的路程未走完,小明随即上了爸爸的车,由爸爸送往学校,这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间?
8. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地,A,B两地的距离等于B,C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟,但在B地停留了7分钟,甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时,甲车就超过乙车.
9. 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时,乙车单独清扫需要15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫12千米,问东、西两城相距多少千米?
10. 今有重量为3吨的集装箱4个,重量为2.5吨的集装箱5个,重量为1.5吨的集装箱14个,重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱?