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可化为(X＋b/(5a))^ 5=R的一元五次方程之求根公式 关于研究五次方程求根公式的问题,如果我们不受Abel定理的约束,那么在探索中我们会有新的发现. 从盛金公式解题法中可以受到启发,若一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0可以用根式表达的公式求解,则一定可以化为(X＋b/(3a))^3=R的方程,事实上,展开(X＋b/(3a))^3=R后的此方程,无论a 、b、R为任意实数,都可以用盛金公式②直观求解. 因此,笔者猜想：“如果一元五次方程aX^5＋bX^4＋cX^3＋dX^2＋eX＋f=0可以用根式表达的公式求解,那么就一定可以化为(X＋b/(5a))^5=R的方程,展开(X＋b/(5a))^5=R的此方程,无论a 、b、R为任意实数,存在根式表达的公式求解.” 经过努力探索,笔者解决了这个猜想,推导出“可化为(X＋b/(5a))^5=R的一元五次方程之求根公式”如下：一元五次方程：aX^5＋bX^4＋cX^3＋dX^2＋eX＋f=0 （a,b,c,d,e,f∈R,且a≠0） 重根判别式：A=2b^2—5ac； B=bc—5ad； C=de—5cf； D=2e^2—5df.当A=B=C=0时,公式⑴：X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5) =－b/(5a)=－c/(2b)=－d/c=－2e/d=－5f/e.当A=B=0,C≠0时,公式⑵：X(1)=(－b＋Y^(1/5))/(5a)； X(2,3)=(－b＋Y^(1/5)(－1－5^(1/2))/4)/(5a) ±Y^(1/5)(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a)； X(4,5)=(－b＋Y^(1/5)(－1＋5^(1/2))/4)/(5a) ±Y^(1/5)(5＋5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a).其中Y=(5a)^3(be—25af),i^2=－1.判别法：当A=B=C=0时,方程有一个五重实根； 当A=B=0时,C≠0时,方程有一个实根和两对共轭虚根. （注：这个判别法是针对上述公式而言,并非判别根的一般情况） 特点：1、当A=B=C=0时的方程,都可以化为(X＋b/(5a))^5=0的方程,展开(X＋b/(5a))^5=0,无论a、b、为任意实数,都可以用公式⑴快速求解. 2、当A=B=0,C≠0时的方程,都可以化为(X＋b/(5a))^5=R的方程,展开(X＋b/(5a))^5=R,无论a、b、R为任意实数,都可以用公式⑵直观求解.解题举例：例1、解方程1024X^5＋3840X^4＋5760X^3＋4320X^2＋1620X＋243=0 a=1024,b=3840,c=5760,d=4320,e=1620,f=243.∵A=B=C=0,∴此方程有一个五重实根.应用公式⑴解得：X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4. 这是精确结果,把X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4代入原方程为零.经检验,解得的结果正确.例2、解方程X^5＋15X^4＋90X^3＋270X^2＋405X—1419614=0 （值得注意：根据Abel定理,这个五次方程无根式表达的公式求解.） a=1,b=15,c=90,d=270,e=405,f=－1419614. ∵A=0；B=0；C≠0,∴此方程有一个实根和两对共轭虚根.应用公式⑵求解.Y=(5a)^3(be—25af)=4437053125； Y^(1/5)=85.把有关值代入公式⑵,得：X(1)=14； X(2,3)=(－29－17×5^(1/2))/4±17(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4； X(4,5)=(－29＋17×5^(1/2))/4±17(5＋5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4. 这是精确结果.为了方便用韦达定理检验,取近似结果为宜,就是：X(1)=14； X(2,3)=－16.7532889±9.992349289i； X(4,5)=2.253288904±16.16796078i.经检验,解得的结果正确（检验过程略）.例3、解方程X^5＋30×23^(1/2)X^4＋8280X^3＋49680×23^(1/2)X^2＋3427920X＋2008×889^(1/2)=0 （值得注意：这是一个比较复杂的五次方程,根据Abel定理,这个方程无根式表达的公式求解.） a=1,b=30×23^(1/2),c=8280,d=49680×23^(1/2),e=3427920,f=2008×889^(1/2).∵A=B=0,C≠0,∴此方程有一个实根和两对共轭虚根.应用公式⑵求解.Y=(5a)^3(be—25af)= 6.146187944×10^10； Y^(1/5)=143.7875114.把有关值代入公式⑵,得：X(1)=－0.01748685988； X(2,3)=－52.0402972±16.90323573i； X(4,5)=－19.88843222±27.35000994i.经用韦达定理检验,解得的结果正确（检验过程略）. 更进一步地,笔者猜想：当n＞5时,如果一般n次方程可以用根式表达的公式求解,那么就一定可以化为(X＋b/(na))^n=R的方程,展开(X＋b/(na))^n=R后的此方程,无论a 、b、R为任意实数,存在公式求解.说明：1、此文中的重根判式A、B、C、D与“科学网＞个人学术展示＞一般五次方程求根公式之探讨（一）范盛金”一文中的重根判式A、B、C、D有区别,这是因为此文经过压缩,精选出重根判式.解题过程中要注意区分. 2、凡是展开(X＋b/(5a))^5=R得出的一元五次方程,无论a 、b、R为任意实数,都可以用公式⑵直观求解.根据这一特点,有理由猜想：一元五次方程存在根式表达的一般式求根公式.这个猜想与Abel定理相违背. 3、一元五次方程方程的最简重根判别式以及公式⑴、⑵与盛金公式的表达形式类似.很明显,公式⑴、⑵是一般五次方程求公式的其中情形的公式. 4、能否完整地推导出根式表达的一般五次方程求根公式?这是世界数学史上最著名的难题之一,是一个相当复杂的问题,但值得探索.
可化为(X＋b/(5a))^ 5=R的一元五次方程之求根公式 关于研究五次方程求根公式的问题,如果我们不受Abel定理的约束,那么在探索中我们会有新的发现. 从盛金公式解题法中可以受到启发,若一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0可以用根式表达的公式求解,则一定可以化为(X＋b/(3a))^3=R的方程,事实上,展开(X＋b/(3a))^3=R后的此方程,无论a 、b、R为任意实数,都可以用盛金公式②直观求解. 因此,笔者猜想：“如果一元五次方程aX^5＋bX^4＋cX^3＋dX^2＋eX＋f=0可以用根式表达的公式求解,那么就一定可以化为(X＋b/(5a))^5=R的方程,展开(X＋b/(5a))^5=R的此方程,无论a 、b、R为任意实数,存在根式表达的公式求解.” 经过努力探索,笔者解决了这个猜想,推导出“可化为(X＋b/(5a))^5=R的一元五次方程之求根公式”如下：一元五次方程：aX^5＋bX^4＋cX^3＋dX^2＋eX＋f=0 （a,b,c,d,e,f∈R,且a≠0） 重根判别式：A=2b^2—5ac； B=bc—5ad； C=de—5cf； D=2e^2—5df.当A=B=C=0时,公式⑴：X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5) =－b/(5a)=－c/(2b)=－d/c=－2e/d=－5f/e.当A=B=0,C≠0时,公式⑵：X(1)=(－b＋Y^(1/5))/(5a)； X(2,3)=(－b＋Y^(1/5)(－1－5^(1/2))/4)/(5a) ±Y^(1/5)(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a)； X(4,5)=(－b＋Y^(1/5)(－1＋5^(1/2))/4)/(5a) ±Y^(1/5)(5＋5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a).其中Y=(5a)^3(be—25af),i^2=－1.判别法：当A=B=C=0时,方程有一个五重实根； 当A=B=0时,C≠0时,方程有一个实根和两对共轭虚根. （注：这个判别法是针对上述公式而言,并非判别根的一般情况） 特点：1、当A=B=C=0时的方程,都可以化为(X＋b/(5a))^5=0的方程,展开(X＋b/(5a))^5=0,无论a、b、为任意实数,都可以用公式⑴快速求解. 2、当A=B=0,C≠0时的方程,都可以化为(X＋b/(5a))^5=R的方程,展开(X＋b/(5a))^5=R,无论a、b、R为任意实数,都可以用公式⑵直观求解.解题举例：例1、解方程1024X^5＋3840X^4＋5760X^3＋4320X^2＋1620X＋243=0 a=1024,b=3840,c=5760,d=4320,e=1620,f=243.∵A=B=C=0,∴此方程有一个五重实根.应用公式⑴解得：X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4. 这是精确结果,把X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4代入原方程为零.经检验,解得的结果正确.例2、解方程X^5＋15X^4＋90X^3＋270X^2＋405X—1419614=0 （值得注意：根据Abel定理,这个五次方程无根式表达的公式求解.） a=1,b=15,c=90,d=270,e=405,f=－1419614. ∵A=0；B=0；C≠0,∴此方程有一个实根和两对共轭虚根.应用公式⑵求解.Y=(5a)^3(be—25af)=4437053125； Y^(1/5)=85.把有关值代入公式⑵,得：X(1)=14； X(2,3)=(－29－17×5^(1/2))/4±17(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4； X(4,5)=(－29＋17×5^(1/2))/4±17(5＋5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4. 这是精确结果.为了方便用韦达定理检验,取近似结果为宜,就是：X(1)=14； X(2,3)=－16.7532889±9.992349289i； X(4,5)=2.253288904±16.16796078i.经检验,解得的结果正确（检验过程略）.例3、解方程X^5＋30×23^(1/2)X^4＋8280X^3＋49680×23^(1/2)X^2＋3427920X＋2008×889^(1/2)=0 （值得注意：这是一个比较复杂的五次方程,根据Abel定理,这个方程无根式表达的公式求解.） a=1,b=30×23^(1/2),c=8280,d=49680×23^(1/2),e=3427920,f=2008×889^(1/2).∵A=B=0,C≠0,∴此方程有一个实根和两对共轭虚根.应用公式⑵求解.Y=(5a)^3(be—25af)= 6.146187944×10^10； Y^(1/5)=143.7875114.把有关值代入公式⑵,得：X(1)=－0.01748685988； X(2,3)=－52.0402972±16.90323573i； X(4,5)=－19.88843222±27.35000994i.经用韦达定理检验,解得的结果正确（检验过程略）. 更进一步地,笔者猜想：当n＞5时,如果一般n次方程可以用根式表达的公式求解,那么就一定可以化为(X＋b/(na))^n=R的方程,展开(X＋b/(na))^n=R后的此方程,无论a 、b、R为任意实数,存在公式求解.说明：1、此文中的重根判式A、B、C、D与“科学网＞个人学术展示＞一般五次方程求根公式之探讨（一）范盛金”一文中的重根判式A、B、C、D有区别,这是因为此文经过压缩,精选出重根判式.解题过程中要注意区分. 2、凡是展开(X＋b/(5a))^5=R得出的一元五次方程,无论a 、b、R为任意实数,都可以用公式⑵直观求解.根据这一特点,有理由猜想：一元五次方程存在根式表达的一般式求根公式.这个猜想与Abel定理相违背. 3、一元五次方程方程的最简重根判别式以及公式⑴、⑵与盛金公式的表达形式类似.很明显,公式⑴、⑵是一般五次方程求公式的其中情形的公式. 4、能否完整地推导出根式表达的一般五次方程求根公式?这是世界数学史上最著名的难题之一,是一个相当复杂的问题,但值得探索.