数学
某小学三年级的英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周星期五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）；（I）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后天两天学习过的单词的概率；（II）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为45，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为35；若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词数ξ的分布列和期望．

2019-04-16

某小学三年级的英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周星期五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）；
（I）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后天两天学习过的单词的概率；
（II）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为
4
5
，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为
3
5
；若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词数ξ的分布列和期望．
优质解答

（I）由题意设英语老师随机抽了4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，则由题可得：
P（A）=
C
3
6
C
1
6
+
C
4
6
C
4
12
＝
3
11
；
（II）由题意随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，则有：
P（ξ=0）=(
1
5
)2•
2
5
＝
2
125
，
P（ξ=1）=
C
1
2
(
4
5
)×
1
5
×
2
5
+(
1
5
)2×
3
5
＝
19
125
，
P（ξ=2）=(
4
5
)2×
2
5
+
C
1
2
×
4
5
×
1
5
×
3
5
＝
56
125
，
P（ξ=3）=(
4
5
)2×
3
5
＝
48
125
，
所以随机变量的分布列为：

故随机变量的期望Eξ=0×
2
125
+1×
19
125
+2×
56
125
+3×
48
125
=
11
5
．
（I）由题意设英语老师随机抽了4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，则由题可得：
P（A）=
C
3
6
C
1
6
+
C
4
6
C
4
12
＝
3
11
；
（II）由题意随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，则有：
P（ξ=0）=(
1
5
)2•
2
5
＝
2
125
，
P（ξ=1）=
C
1
2
(
4
5
)×
1
5
×
2
5
+(
1
5
)2×
3
5
＝
19
125
，
P（ξ=2）=(
4
5
)2×
2
5
+
C
1
2
×
4
5
×
1
5
×
3
5
＝
56
125
，
P（ξ=3）=(
4
5
)2×
3
5
＝
48
125
，
所以随机变量的分布列为：

故随机变量的期望Eξ=0×
2
125
+1×
19
125
+2×
56
125
+3×
48
125
=
11
5
．
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