一.图形分割
例1.在边长为1的正方形内任意放13个点.证明：必定存在4点,使得以这4点为顶点的四边形面积不超过.
证：如图,将正方形分成4个面积是的矩形,13个点必有4点落在同一个矩形中,其面积不超过.
例2.半径为1的圆内任意放7个点,证明：必有2点,它们间的距离不大于1.
证：如图,将圆分成6个相等的扇形,7点中必有2点落在同一个扇形中,易知它们的距离不大于1.
例3.在3×4的长方形中,任意放6个点. 证明：必有2点,它们间的距离不大于 .
证：如图,将长方形分成5块,6点中必有2点落在同一块中,易知它们的距离不大于 .
二.数的问题
例4.任意给出7个不同整数. 证明：必有2个整数,其和或差是10的倍数.
证：按除以10的余数将整数分成10类,将这10类分成如下6组：{0}（表示除以10余0的所有整数）；{1}、{9}；{2}、{8}；{3},{7}；{4},{6}；{5}. 7个数中必有2个来自同一组,若它们同类,则差是10的倍数；若不同类,则和是10的倍数.
例5.证明：存在一个这样的正整数,其各位数码是0或1,并且是1993的倍数.
证明：考虑如下1993个数：10,110,1110,…, . 若其中有数是1993的倍数,则证毕；否则它们除以1993的余数只能是1,2,…,1992,必有两数除以1993余数相同,它们的差是1993的倍数,显然此差的各位数码是0或1.
例6.任意写一个数码由1、2、3组成的30位数,从这个30位数中任意截取相邻的3位数字,可组成一个3位数. 证明：按上述方式一定可以得到两个相同的3位数.
证：一共可截取28个3位数,而数码由1、2、3组成的三位数有33=27个,必有两数相同.
例7.任意给定n+1个小于2n的不同正整数,证明：必可从中选出3个数,使其中两个之和等于第三个.
证：设这n+1个正整数是a0 一.图形分割
例1.在边长为1的正方形内任意放13个点.证明：必定存在4点,使得以这4点为顶点的四边形面积不超过.
证：如图,将正方形分成4个面积是的矩形,13个点必有4点落在同一个矩形中,其面积不超过.
例2.半径为1的圆内任意放7个点,证明：必有2点,它们间的距离不大于1.
证：如图,将圆分成6个相等的扇形,7点中必有2点落在同一个扇形中,易知它们的距离不大于1.
例3.在3×4的长方形中,任意放6个点. 证明：必有2点,它们间的距离不大于 .
证：如图,将长方形分成5块,6点中必有2点落在同一块中,易知它们的距离不大于 .
二.数的问题
例4.任意给出7个不同整数. 证明：必有2个整数,其和或差是10的倍数.
证：按除以10的余数将整数分成10类,将这10类分成如下6组：{0}（表示除以10余0的所有整数）；{1}、{9}；{2}、{8}；{3},{7}；{4},{6}；{5}. 7个数中必有2个来自同一组,若它们同类,则差是10的倍数；若不同类,则和是10的倍数.
例5.证明：存在一个这样的正整数,其各位数码是0或1,并且是1993的倍数.
证明：考虑如下1993个数：10,110,1110,…, . 若其中有数是1993的倍数,则证毕；否则它们除以1993的余数只能是1,2,…,1992,必有两数除以1993余数相同,它们的差是1993的倍数,显然此差的各位数码是0或1.
例6.任意写一个数码由1、2、3组成的30位数,从这个30位数中任意截取相邻的3位数字,可组成一个3位数. 证明：按上述方式一定可以得到两个相同的3位数.
证：一共可截取28个3位数,而数码由1、2、3组成的三位数有33=27个,必有两数相同.
例7.任意给定n+1个小于2n的不同正整数,证明：必可从中选出3个数,使其中两个之和等于第三个.
证：设这n+1个正整数是a0