一道美国高中数学题，请教数学牛人。1.将P(n)=n^x-n 分解因式 当x分别为2、3、4、5时，并且确定该多项式是否总是能被x整除，如果可以的话请用数学归纳法予以证明，证明P（k+1）-P（k）总是能被x整除，用适当的方法去探究更多的例子,总结你的结果，并且说明在何种概况下P（k+1）-P（k）总是能被x整除。2.研究杨辉三角是如何出来的，用合适的技术计算出前15行。请表示出P（k+1）-P（k）与杨辉三角间的关系。写出杨辉三角中第x行的表示方法，你可能发现（x/r)=k （这个打不出来），判断k是否
2019-05-07
一道美国高中数学题，请教数学牛人。
1.将P(n)=n^x-n 分解因式 当x分别为2、3、4、5时，并且确定该多项式是否总是能被x整除，如果可以的话请用数学归纳法予以证明，证明P（k+1）-P（k）总是能被x整除，用适当的方法去探究更多的例子,总结你的结果，并且说明在何种概况下P（k+1）-P（k）总是能被x整除。
2.研究杨辉三角是如何出来的，用合适的技术计算出前15行。请表示出P（k+1）-P（k）与杨辉三角间的关系。
写出杨辉三角中第x行的表示方法，你可能发现（x/r)=k （这个打不出来），判断k是否是x的倍数。
3.总结第二部分的接过并且下结论，有必要的话请重新定义你的条件。
4.阐释你所得出的条件的反条件，形容一下你会如何判定反条件？
最好是明天下午2点之前做好，呵呵
优质解答
首选当x=2的时候
n^2-n=n(n-1）无论n是奇数还是偶数，n(n-1）都是偶数，也就必定能被2整
当x=3,4,5的时候同理
如果要用数学归纳法证明，就先要证明P(1)的时候该多项式是否能被x整除
当x=1时，所以P（1）=1^x-1 那么1^x永远等于1，所以1-1=0，0能被x整除
接下来证明P（k+1）和P（k）总是能被x整除
假设P(k)能被x整除
所以(k)^x-k=xa
然后要证明P(k+1)也能被x整除
那么分解(k+1)^x-(k+1)，试图得到x乘以另一个多项式
首选当x=2的时候
n^2-n=n(n-1）无论n是奇数还是偶数，n(n-1）都是偶数，也就必定能被2整
当x=3,4,5的时候同理
如果要用数学归纳法证明，就先要证明P(1)的时候该多项式是否能被x整除
当x=1时，所以P（1）=1^x-1 那么1^x永远等于1，所以1-1=0，0能被x整除
接下来证明P（k+1）和P（k）总是能被x整除
假设P(k)能被x整除
所以(k)^x-k=xa
然后要证明P(k+1)也能被x整除
那么分解(k+1)^x-(k+1)，试图得到x乘以另一个多项式