数学活动--求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．

2019-04-14

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数学活动--求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．
（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；
（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．
作业帮

优质解答

（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=DB=DA．
∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB．
∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°．
∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，
∴G是AC的中点．
∴CG=

1

2

AC=

1

2

×8=4，DG=

1

2

BC=

1

2

×6=3．
∴S△DCG=

1

2

×CG•DG=

1

2

×4×3=6．

（2）如图2所示：
作业帮

∵△ABC≌△FDE，
∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，
∴∠1=∠2，
∴GH=GD，
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，
∴AG=GD，
∴AG=GH，
∴点G为AH的中点；
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
∵D是AB中点，
∴AD=

1

2

AB=5，
在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，
∴

AD

AC

=

DH

CB

，
∴

5

8

=

DH

6

，
∴DH=

15

4

．
∴S△DGH=

1

2

S△ADH=

1

2

×

1

2

×DH•AD=

1

4

×

15

4

×5=

75

16

．（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=DB=DA．
∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB．
∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°．
∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，
∴G是AC的中点．
∴CG=

1

2

AC=

1

2