怎么求36度角的三角函数值请分别用代数方法和几何方法解答,谢谢~!
2019-05-07
怎么求36度角的三角函数值请分别用代数方法和几何方法解答,谢谢~!
优质解答
1.解 作黄金△ABC，∠BAC=36 °，∠ABC=∠ACB=72 °. 令BC=a,AB=AC=b。 过B作∠ABC的角平分线BD，交AC于D。 因为等腰△ABC∽等腰△BCD, 所以BC/CD=AB/BC， 故CD=a^2/b， 由此得:AD=b-a^2/b=(b^2-a^2)/b。 因为BC=BD，故a=(b^2-a^2)/b。 即得:b^2=a^2+ab 令b/a=t，则t^2-t-1=0， 解方程得:t=(√5+1)/2. 故b/a=(√5+1)/2，a/b=(√5-1)/2. 由正弦定得:sin36 °/sin72 °=a/b=(√5-1)/2. 故得:cos36 °=(√5+1)/4. 因而得: sin36 °=[√(10-2√5)]/4. 2.∵sin54=cos36 sin54=3×sin18-4×(sin18)^3 cos36=1-2×(sin18)^2 可以求出 sin18=(√5-1)/4 cos18=√(10+2√5)/4 最后sin36=2×sin18×cos18=(√5-1)×√(10+2√5)/8=0.58
1.解 作黄金△ABC，∠BAC=36 °，∠ABC=∠ACB=72 °. 令BC=a,AB=AC=b。 过B作∠ABC的角平分线BD，交AC于D。 因为等腰△ABC∽等腰△BCD, 所以BC/CD=AB/BC， 故CD=a^2/b， 由此得:AD=b-a^2/b=(b^2-a^2)/b。 因为BC=BD，故a=(b^2-a^2)/b。 即得:b^2=a^2+ab 令b/a=t，则t^2-t-1=0， 解方程得:t=(√5+1)/2. 故b/a=(√5+1)/2，a/b=(√5-1)/2. 由正弦定得:sin36 °/sin72 °=a/b=(√5-1)/2. 故得:cos36 °=(√5+1)/4. 因而得: sin36 °=[√(10-2√5)]/4. 2.∵sin54=cos36 sin54=3×sin18-4×(sin18)^3 cos36=1-2×(sin18)^2 可以求出 sin18=(√5-1)/4 cos18=√(10+2√5)/4 最后sin36=2×sin18×cos18=(√5-1)×√(10+2√5)/8=0.58