【大学物理运动学】物体所受外力,是随速度变化而变化的变量,现在用时间的函数来表示速度,一个下落的液滴质量为m.空气阻力F=6πrεv.其中r是液滴半径,ε是空气粘滞系数,v是液滴速度.现在用时间函数来表示速度?其实我也做到子寒冰的那一步,但是这个微分方程解起来有点麻烦,还烦请告诉我有何技巧?
2019-05-28
【大学物理运动学】物体所受外力,是随速度变化而变化的变量,现在用时间的函数来表示速度,
一个下落的液滴质量为m.空气阻力F=6πrεv.其中r是液滴半径,ε是空气粘滞系数,v是液滴速度.现在用时间函数来表示速度?
其实我也做到子寒冰的那一步,但是这个微分方程解起来有点麻烦,还烦请告诉我有何技巧?
优质解答
告诉你方法吧
先求出加速度a
ma=mg-F
加速度就是速度对时间t的微分
所以ma=mdv/dt=(mg- 6πrεv) 初始条件是v(0)=0m/s
解这个关于v的一阶微分方程就可以求出来了
为了书写简单,设k=6πrε
mdv/dt=mg-kv
∫dv/(mg-kv)=∫dt/m,
即 -ln(mg-kv)/k=t/m+C1
即mg-kv=e^(-kt/m-kC1)
v=mg/k+C*e^(-kt/m),C=-[e^(-kC1)]/k
代入初始条件v(0)=0m/s,C=-mg/k
则：v=[1-e^(-kt/m]*mg/k
v=[1-e^(-6πrεt/m)]*mg/(6πrε)
告诉你方法吧
先求出加速度a
ma=mg-F
加速度就是速度对时间t的微分
所以ma=mdv/dt=(mg- 6πrεv) 初始条件是v(0)=0m/s
解这个关于v的一阶微分方程就可以求出来了
为了书写简单,设k=6πrε
mdv/dt=mg-kv
∫dv/(mg-kv)=∫dt/m,
即 -ln(mg-kv)/k=t/m+C1
即mg-kv=e^(-kt/m-kC1)
v=mg/k+C*e^(-kt/m),C=-[e^(-kC1)]/k
代入初始条件v(0)=0m/s,C=-mg/k
则：v=[1-e^(-kt/m]*mg/k
v=[1-e^(-6πrεt/m)]*mg/(6πrε)