等比公式的通项公式是比较容易理解的,因为当公比是q的时候,a[2]=a[1]q,a[3]=a[2]q=a[1]q*q=a[1]q^2,依次类推就得到：a[n]=a[1]q^(n-1).这样S[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]=a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)].那么怎样用初中知识推导出等比数列求和公式呢?
这里,首先要讲一下一个多项式的乘法公式.我们知道：(1-x)(1+x)=1-x^2,(1-x)(1+x+x^2)=1-x^3,依次类推,就有：(1-x)[1+x+x^2+...+x^(n-1)]=1-x^n.其实这个一般化的公式也很好理前一个因式只有两项,当用1去乘后一因式的时候,后一个因式保持不变,当用-x去乘后一个因式的时候,积的符号正好相反,而积的绝对值正好与后一因式向后错开了一位.这样除了1和-x^n没有对应的互为相反的值以外,中间的值全部正负抵消了.这么一个多项式乘法的一般化公式,对于初中的学生来讲应该还是可以理解的,只是初步接触一个项数较多,以至于要用省略号来表示的因式时,稍感突兀一点罢了.
有了这么一个多项式乘法的一般化公式,再来看等比数列求和公式,那就是水到渠成了：
S[n]
=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]
=a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)]
=a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)](1-q)/(1-q)
=a[1](1-q^n)/(1-q) 等比公式的通项公式是比较容易理解的,因为当公比是q的时候,a[2]=a[1]q,a[3]=a[2]q=a[1]q*q=a[1]q^2,依次类推就得到：a[n]=a[1]q^(n-1).这样S[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]=a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)].那么怎样用初中知识推导出等比数列求和公式呢?
这里,首先要讲一下一个多项式的乘法公式.我们知道：(1-x)(1+x)=1-x^2,(1-x)(1+x+x^2)=1-x^3,依次类推,就有：(1-x)[1+x+x^2+...+x^(n-1)]=1-x^n.其实这个一般化的公式也很好理前一个因式只有两项,当用1去乘后一因式的时候,后一个因式保持不变,当用-x去乘后一个因式的时候,积的符号正好相反,而积的绝对值正好与后一因式向后错开了一位.这样除了1和-x^n没有对应的互为相反的值以外,中间的值全部正负抵消了.这么一个多项式乘法的一般化公式,对于初中的学生来讲应该还是可以理解的,只是初步接触一个项数较多,以至于要用省略号来表示的因式时,稍感突兀一点罢了.
有了这么一个多项式乘法的一般化公式,再来看等比数列求和公式,那就是水到渠成了：
S[n]
=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]
=a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)]
=a[1][1+q+q^2+...+q^(n-1)](1-q)/(1-q)
=a[1](1-q^n)/(1-q)