数列问题中的数学思想方法
数列是高中数学的重要内容,它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系,是每年高考的必考内容.同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）.在处理数列综合问题时,若能灵活运用这些数学思想与方法,则会取得事半功倍的效果.
一、 函数思想
数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数,也可以看成是方程或方程组,特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数,而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数,因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析,加以解决.
例1.已知数列的通项公式 ,这个数列从第几项起,各项的数值逐渐增大?从第几项起各项的数值均为正?数列中是否存在数值与首项相同的项?
分析：根据条件,数列 的点都在函数 的图象上,如右图利用图象根据二次函数的性质可得,这个数列从第5项开始,各项的数值逐渐增大,从第9项起,各项的数值均为正数,第9项是与首项相同的项.
例2．已知数列 是等差数列,若 , ,求 .
,故 为等差数列,其通项为一次函数,设 ,则点 , ,在其图象上, , , ,
故 ,解之得： .
评注： 是关于n的一次函数,其图象是直线上的离散点.本题是利用待定系数法建立一次函数来求解 .
例3．设等差数列 的前n项和为 ,已知 , , .
（1）求公差d的取值范围；（2）指出 、 、 …… 中哪一个值最大,并说明理由.
分析：对于（1）,可考虑由 , 建立关于d的不等式组,对于（2）由 是n的二次函数加以考虑,转化为求二次函数的最值问题.
（1）由 知 ,


.
（2）
, 是关于n的二次函数,图象的对称轴方程为： ,
, ,故当整数 时, 最大,即 最大.
评注：对于等差数列来说, 是n的二次函数,且常数项为零,可写为 的形式,其图象必过原点,对于此题来说,由于 , ,故图象与x轴的另一交点横坐标
,满足 ,故对称轴为 , ,因此,判定 时 最大,以上思维过程更为简捷.
例4．等差数列 的首项是2,前10项之和是15,记 求 及 的最大值．
分析：由已知可求出公差d．解好本题的关键是对“ ”这一表达式准确、全面的认识： 是数列 的子数列,其中2,4,8,……, 组成等比数列, 则是这一子数列的前n项和,认识到上述三点,问题不仅较易于解决,而且从不同角度入手可得到求 最大值的不同解法．
设等差数列 的公差为d,由已知：
,解得

求 的最大值有以下三种解法．
解法一：
由
令 ,解得
又 ,解得
即在数列 中：
,
所以当 时, 的值最大,其最大值为：

解法二：
数列 的通项
令 ,得 ,
由此可得
故使 , 的最大值为4．
∴
解法三：
由 ,若存在自然数 ,
使得 ,且 ,则 的值最大．

解得 ,取 时, 有最大值：
反思回顾：上述三种求 最值的方法都是运用函数思想．解法一是通过数列 的单调性及 值的正负,求子数列 的前n项和 的最值．解法二是直接研究子数列 ．解法三是研究 的单调性求其最值,解法三还可简化为研究函数 的单调性．
二、 方程思想
数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量 ,“知三求二”是一类最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法.
例5、设 是正数组成的数列,其前 项和为 ,并且对于所有的自然数 , 与2的等差中项等于 与2的等比中项,求 的通项公式.
由题意可知 整理得： ,当 时 解得 .又 - ,整理得： ,又 , ,即 是首项为2,公差为4的等差数列, .
点评：本例利用了方程的消元思想由 、 消去 得到了
这一方程找到了数列中相邻两项的递推关系,使问题得到了解决.值得注意的是有的时候可借助 消去 利用 递推关系解题.
例6、已知等差数列 的公差是正数,并且 ,求前n项的和 .
由等差数列 知： ,从而 ,故 是方程 的两根,又 ,解之,得： .再解方程组： ,所以 .
点评：本题利用了 这一性质构造了二次方程巧妙的解出了 ,再利用方程求得了首项与公差的值,从而使问题得到解决,由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与 （或 ）找出解题的捷径.
三、 分类讨论思想
所谓分类讨论,就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时,我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究,最后综合各类的结果得到问题的解决.
例7、已知等差数列 的前n项的和 ,求 .
（1）当 时, ；
（2）当 时, ；
综合（1）（2）可知 .
点评：此例从分的体现了 与 的关系中隐含了分类讨论思想,其理由是 中脚码 必须为正整数.
例8．已知{ }是公比为q的等比数列,且 成等差数列.
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{ }是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.
（Ⅰ）由题设

（Ⅱ）若
当 故
若
当
故对于
例9．（江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.
方法一：先考虑偶数项有：

………


同理考虑奇数项有：

………


综合可得
例10． 设等比数列 的公比为 ,前n项和 .
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 ,记 的前n项和为 ,试比较 与 的大小.
（Ⅰ）因为 是等比数列,
当

上式等价于不等式组： ①
或 ②
解①式得q>1；解②,由于n可为奇数、可为偶数,得－10,所以a>b.
猜测：当且仅当a>b,且 时,每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得xn>0,n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0 数列问题中的数学思想方法
数列是高中数学的重要内容,它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系,是每年高考的必考内容.同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）.在处理数列综合问题时,若能灵活运用这些数学思想与方法,则会取得事半功倍的效果.
一、 函数思想
数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数,也可以看成是方程或方程组,特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数,而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数,因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析,加以解决.
例1.已知数列的通项公式 ,这个数列从第几项起,各项的数值逐渐增大?从第几项起各项的数值均为正?数列中是否存在数值与首项相同的项?
分析：根据条件,数列 的点都在函数 的图象上,如右图利用图象根据二次函数的性质可得,这个数列从第5项开始,各项的数值逐渐增大,从第9项起,各项的数值均为正数,第9项是与首项相同的项.
例2．已知数列 是等差数列,若 , ,求 .
,故 为等差数列,其通项为一次函数,设 ,则点 , ,在其图象上, , , ,
故 ,解之得： .
评注： 是关于n的一次函数,其图象是直线上的离散点.本题是利用待定系数法建立一次函数来求解 .
例3．设等差数列 的前n项和为 ,已知 , , .
（1）求公差d的取值范围；（2）指出 、 、 …… 中哪一个值最大,并说明理由.
分析：对于（1）,可考虑由 , 建立关于d的不等式组,对于（2）由 是n的二次函数加以考虑,转化为求二次函数的最值问题.
（1）由 知 ,


.
（2）
, 是关于n的二次函数,图象的对称轴方程为： ,
, ,故当整数 时, 最大,即 最大.
评注：对于等差数列来说, 是n的二次函数,且常数项为零,可写为 的形式,其图象必过原点,对于此题来说,由于 , ,故图象与x轴的另一交点横坐标
,满足 ,故对称轴为 , ,因此,判定 时 最大,以上思维过程更为简捷.
例4．等差数列 的首项是2,前10项之和是15,记 求 及 的最大值．
分析：由已知可求出公差d．解好本题的关键是对“ ”这一表达式准确、全面的认识： 是数列 的子数列,其中2,4,8,……, 组成等比数列, 则是这一子数列的前n项和,认识到上述三点,问题不仅较易于解决,而且从不同角度入手可得到求 最大值的不同解法．
设等差数列 的公差为d,由已知：
,解得

求 的最大值有以下三种解法．
解法一：
由
令 ,解得
又 ,解得
即在数列 中：
,
所以当 时, 的值最大,其最大值为：

解法二：
数列 的通项
令 ,得 ,
由此可得
故使 , 的最大值为4．
∴
解法三：
由 ,若存在自然数 ,
使得 ,且 ,则 的值最大．

解得 ,取 时, 有最大值：
反思回顾：上述三种求 最值的方法都是运用函数思想．解法一是通过数列 的单调性及 值的正负,求子数列 的前n项和 的最值．解法二是直接研究子数列 ．解法三是研究 的单调性求其最值,解法三还可简化为研究函数 的单调性．
二、 方程思想
数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量 ,“知三求二”是一类最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法.
例5、设 是正数组成的数列,其前 项和为 ,并且对于所有的自然数 , 与2的等差中项等于 与2的等比中项,求 的通项公式.
由题意可知 整理得： ,当 时 解得 .又 - ,整理得： ,又 , ,即 是首项为2,公差为4的等差数列, .
点评：本例利用了方程的消元思想由 、 消去 得到了
这一方程找到了数列中相邻两项的递推关系,使问题得到了解决.值得注意的是有的时候可借助 消去 利用 递推关系解题.
例6、已知等差数列 的公差是正数,并且 ,求前n项的和 .
由等差数列 知： ,从而 ,故 是方程 的两根,又 ,解之,得： .再解方程组： ,所以 .
点评：本题利用了 这一性质构造了二次方程巧妙的解出了 ,再利用方程求得了首项与公差的值,从而使问题得到解决,由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与 （或 ）找出解题的捷径.
三、 分类讨论思想
所谓分类讨论,就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时,我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究,最后综合各类的结果得到问题的解决.
例7、已知等差数列 的前n项的和 ,求 .
（1）当 时, ；
（2）当 时, ；
综合（1）（2）可知 .
点评：此例从分的体现了 与 的关系中隐含了分类讨论思想,其理由是 中脚码 必须为正整数.
例8．已知{ }是公比为q的等比数列,且 成等差数列.
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{ }是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.
（Ⅰ）由题设

（Ⅱ）若
当 故
若
当
故对于
例9．（江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.
方法一：先考虑偶数项有：

………


同理考虑奇数项有：

………


综合可得
例10． 设等比数列 的公比为 ,前n项和 .
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）设 ,记 的前n项和为 ,试比较 与 的大小.
（Ⅰ）因为 是等比数列,
当

上式等价于不等式组： ①
或 ②
解①式得q>1；解②,由于n可为奇数、可为偶数,得－10,所以a>b.
猜测：当且仅当a>b,且 时,每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得xn>0,n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
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