07初二下学期期末数学题已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y． （1）求证：△APQ是等边三角形； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果PD⊥AQ，求BP的值．
2019-06-20
07初二下学期期末数学题已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y． （1）求证：△APQ是等边三角形； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果PD⊥AQ，求BP的值．
优质解答
（1）联结AC．在菱形ABCD中， ∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形． ∴AC=AB，∠BAC=∠BCA=60°． ∵∠PAQ=60°， ∴∠BAP=∠CAQ． ∵AB∥CD，∠B=60°，∴∠BCD=120°． ∴∠ACQ=∠B=60°． ∴△ABP≌△ACQ． ∴AP=AQ． ∴△APQ是等边三角形． （2）由△APQ是等边三角形，得AP=PQ=y． 作AH⊥BC于点H，由AB=4，BH=2，∠B=60°，得AH= ． ∴ ，即． 定义域为x≥0 （3）（i）当点P在边BC上时， ∵PD⊥AQ，AP=PQ，∴PD垂直平分AQ． ∴AD=DQ． ∴CQ=0． 又∵BP=CQ，∴BP=0． （ii）当点P在边BC的延长线上时， 同理可得BP=8． 综上所述，BP=0或BP=8．
（1）联结AC．在菱形ABCD中， ∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形． ∴AC=AB，∠BAC=∠BCA=60°． ∵∠PAQ=60°， ∴∠BAP=∠CAQ． ∵AB∥CD，∠B=60°，∴∠BCD=120°． ∴∠ACQ=∠B=60°． ∴△ABP≌△ACQ． ∴AP=AQ． ∴△APQ是等边三角形． （2）由△APQ是等边三角形，得AP=PQ=y． 作AH⊥BC于点H，由AB=4，BH=2，∠B=60°，得AH= ． ∴ ，即． 定义域为x≥0 （3）（i）当点P在边BC上时， ∵PD⊥AQ，AP=PQ，∴PD垂直平分AQ． ∴AD=DQ． ∴CQ=0． 又∵BP=CQ，∴BP=0． （ii）当点P在边BC的延长线上时， 同理可得BP=8． 综上所述，BP=0或BP=8．