一、代数含义 绝对值是分正数、负数和零三种情况来说明的.也就是,一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零.即当a为有理数时,| a | =二、 对值的几何意义一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离.即若a是有理数,则| a |就是数轴上表示“a”的点与原点“0”的距离,如,数轴上到原点的长度为6的点有两个,即±6,这个长度6就是 6和－6的绝对值.数轴是中学代数中数形结合思想最简单也是最基本的表现形式,利用数轴强化绝对值概念,不但可以从几何直观上理解绝对值的意义,而且能渗透数形结合的思想方法.三、绝对值的主要性质⑴正数及负数的绝对值都是正数,零的绝对值还是零.即,任何一个数的绝对值都是非负数,也就是,若a为有理数,则| a |≥0；⑵任何两个互为相反数的绝对值总相等,即,若a为有理数,则| a | = |－a |；⑶任何一个有理数都不大于它的绝对值,即,若a为有理数,则a≤| a | .四、典型例题分析例1 一个数的绝对值等于它本身,求这个数；一个数的绝对值等于它的相反数,求这个数.一个数的绝对值等于它本身,这个数是非负数；一个数的绝对值等于它的相反数,这个数是非正数,即负数和零.例2 若x＜0,化简.因为x＜0,所以| x | =－x,所以,==== | x | =－x .例3 已知三个数 a、b、c满足| a | + a = 0,| ab | = ab ,| c |－c = 0,化简| b |－| c－b |－| a + b | + | a－c | .由| a | + a = 0,得| a | =－a ,所以a≤0.由| ab | = ab ,得ab≥0,所以b≤0.由| c |－c = 0,得| c | = c,所以c≥0 .所以,c－b≥0,a + b≤0,a－c≤0 .所以,| b |－| c－b |－| a + b | + | a－c | =－b－(c－b)－[－(a + b)]－(a－c) =－b－c + b + a + b－a + c = b .评析：在解题过程中,有时需要反过来由已知绝对值的式子判断绝对值符号内字母或式子的符号.例4 使| a + 2 | = | a | + 2 成立的条件是 ( )(A) a为任意实数 (B) a≠0 (C)a≤0　 (D)a≥0解析；按| a |≥0的性质,去掉绝对值符号,应分三类：⑴ 当a + 2＜0,即a＜－2时,原等式化为：－a－2 =－a + 2 ,此时等式不成立；⑵ 当0≤a + 2＜2,即－2≤a＜0时,原等式化为：a + 2 =－a + 2 ,此时只有a = 0,与－2≤a＜0矛盾.即原等式不成立；⑶ 当a≥0时,已知等式化为：a + 2 = a + 2,即原等式成立.故选(D).评析：按绝对值定义,去掉绝对值符号需要分类讨论.分类标准是按照| a |中的a＜0,a = 0,a＞0进行.例5 若| x－5| + | y + 2x + 6| = 0,求3x + y + 1的值.由非负数的性质知：3x + y + 1 = 0 .例6 若a、b互为相反数,c、d互为倒数,x是绝对值最小的数,且| p | = 2,求3a－3cd +(p + a + d)x + 3b－(p－1)的值.∵ a、b互为相反数,∴ a + b = 0 .又∵c、d互为倒数,∴cd = 1 .而x是绝对值最小的数,即x = 0 .∴3a－3cd +(p + a + d)x + 3b－(p－1) = (3a + 3b) +(p + a + d)x－(p－1) = 3(a + b) + (p + a + d)x－(p－1) = 0－3 + 0－(4－1) =－6 . 一、代数含义 绝对值是分正数、负数和零三种情况来说明的.也就是,一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零.即当a为有理数时,| a | =二、 对值的几何意义一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离.即若a是有理数,则| a |就是数轴上表示“a”的点与原点“0”的距离,如,数轴上到原点的长度为6的点有两个,即±6,这个长度6就是 6和－6的绝对值.数轴是中学代数中数形结合思想最简单也是最基本的表现形式,利用数轴强化绝对值概念,不但可以从几何直观上理解绝对值的意义,而且能渗透数形结合的思想方法.三、绝对值的主要性质⑴正数及负数的绝对值都是正数,零的绝对值还是零.即,任何一个数的绝对值都是非负数,也就是,若a为有理数,则| a |≥0；⑵任何两个互为相反数的绝对值总相等,即,若a为有理数,则| a | = |－a |；⑶任何一个有理数都不大于它的绝对值,即,若a为有理数,则a≤| a | .四、典型例题分析例1 一个数的绝对值等于它本身,求这个数；一个数的绝对值等于它的相反数,求这个数.一个数的绝对值等于它本身,这个数是非负数；一个数的绝对值等于它的相反数,这个数是非正数,即负数和零.例2 若x＜0,化简.因为x＜0,所以| x | =－x,所以,==== | x | =－x .例3 已知三个数 a、b、c满足| a | + a = 0,| ab | = ab ,| c |－c = 0,化简| b |－| c－b |－| a + b | + | a－c | .由| a | + a = 0,得| a | =－a ,所以a≤0.由| ab | = ab ,得ab≥0,所以b≤0.由| c |－c = 0,得| c | = c,所以c≥0 .所以,c－b≥0,a + b≤0,a－c≤0 .所以,| b |－| c－b |－| a + b | + | a－c | =－b－(c－b)－[－(a + b)]－(a－c) =－b－c + b + a + b－a + c = b .评析：在解题过程中,有时需要反过来由已知绝对值的式子判断绝对值符号内字母或式子的符号.例4 使| a + 2 | = | a | + 2 成立的条件是 ( )(A) a为任意实数 (B) a≠0 (C)a≤0　 (D)a≥0解析；按| a |≥0的性质,去掉绝对值符号,应分三类：⑴ 当a + 2＜0,即a＜－2时,原等式化为：－a－2 =－a + 2 ,此时等式不成立；⑵ 当0≤a + 2＜2,即－2≤a＜0时,原等式化为：a + 2 =－a + 2 ,此时只有a = 0,与－2≤a＜0矛盾.即原等式不成立；⑶ 当a≥0时,已知等式化为：a + 2 = a + 2,即原等式成立.故选(D).评析：按绝对值定义,去掉绝对值符号需要分类讨论.分类标准是按照| a |中的a＜0,a = 0,a＞0进行.例5 若| x－5| + | y + 2x + 6| = 0,求3x + y + 1的值.由非负数的性质知：3x + y + 1 = 0 .例6 若a、b互为相反数,c、d互为倒数,x是绝对值最小的数,且| p | = 2,求3a－3cd +(p + a + d)x + 3b－(p－1)的值.∵ a、b互为相反数,∴ a + b = 0 .又∵c、d互为倒数,∴cd = 1 .而x是绝对值最小的数,即x = 0 .∴3a－3cd +(p + a + d)x + 3b－(p－1) = (3a + 3b) +(p + a + d)x－(p－1) = 3(a + b) + (p + a + d)x－(p－1) = 0－3 + 0－(4－1) =－6 .