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（2010•河南三模）高二下学期，学校计划为同学们提供A．B．C．D四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习（受条件限制，不允许多选，也不允许不选）．（I）求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率；（II）求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；（III）求3位同学中，选择A选修课人数ξ的分布列与数学期望．

2020-02-07

（2010•河南三模）高二下学期，学校计划为同学们提供A．B．C．D四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习（受条件限制，不允许多选，也不允许不选）．
（I）求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率；
（II）求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；
（III）求3位同学中，选择A选修课人数ξ的分布列与数学期望．
优质解答
（Ⅰ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M，
则P(M)＝
A
3
4
43
＝
3
8
．                                 …（2分）
（Ⅱ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N，
则P(N)＝
C
2
4
C
2
3
A
2
2
43
＝
9
16
．                     …（5分）
（Ⅲ）由题意，ξ的取值为0.1.2.3．
则P(ξ＝0)＝
33
43
＝
27
64
，P(ξ＝1)＝
C
1
3
×3×3
43
＝
27
64
，
P(ξ＝2)＝
C
2
3
×3
43
＝
9
64
，P(ξ＝3)＝
1
43
＝
1
64
．
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 …（10分）
3
P
27
64
27
64
9
64
1
64
∴Eξ＝0×
27
64
+1×
27
64
+2×
9
64
+3×
1
64
＝
3
4
．         …（12分） （Ⅰ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M，
则P(M)＝
A
3
4
43
＝
3
8
．                                 …（2分）
（Ⅱ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N，
则P(N)＝
C
2
4
C
2
3
A
2
2
43
＝
9
16
．                     …（5分）
（Ⅲ）由题意，ξ的取值为0.1.2.3．
则P(ξ＝0)＝
33
43
＝
27
64
，P(ξ＝1)＝
C
1
3
×3×3
43
＝
27
64
，
P(ξ＝2)＝
C
2
3
×3
43
＝
9
64
，P(ξ＝3)＝
1
43
＝
1
64
．
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 …（10分）
3
P
27
64
27
64
9
64
1
64
∴Eξ＝0×
27
64
+1×
27
64
+2×
9
64
+3×
1
64
＝
3
4
．         …（12分）
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