某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圆》、《荷塘月色》等10首创新经典歌曲．该公司计划用x（百万元）请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y（百万元）与（3-x）x2成正比的关系，当x=2时y=32．又有x2(3−x)∈（0，t]，其中t是常数，且t∈（0，2]．（Ⅰ）设y=f（x），求其表达式，定义域（用t表示）；（Ⅱ）求总利润y的最大值及相应的x的值．
2019-06-07
某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，包含《新花好月圆》、《荷塘月色》等10首创新经典歌曲．该公司计划用x（百万元）请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y（百万元）与（3-x）x2成正比的关系，当x=2时y=32．又有∈（0，t]，其中t是常数，且t∈（0，2]．
（Ⅰ）设y=f（x），求其表达式，定义域（用t表示）；
（Ⅱ）求总利润y的最大值及相应的x的值．
优质解答
（Ⅰ）设y=k（3-x）x2，
∵当x=2时，y=32，
∴k=8，则y=24x2-8x3，
∵∈（0，t]，
∴0＜≤t，
即，
解①得：0＜x＜3．
解②得：x＜或x＞3．
∴0＜x≤；
（Ⅱ）由y′=-24x（x-2）=0，
得x=0或x=2．
若2≤，即1≤t≤2时，f（x）在（0，2）单调递增，在（2，）上单调递减．
∴ymax=f（2）=32；
若2＞，即0＜t＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上为增函数．
ymax＝f()＝．
综上述：当1≤t≤2时，ymax=f（2）=32；
当0＜t＜1时，ymax＝．
（Ⅰ）设y=k（3-x）x2，
∵当x=2时，y=32，
∴k=8，则y=24x2-8x3，
∵∈（0，t]，
∴0＜≤t，
即，
解①得：0＜x＜3．
解②得：x＜或x＞3．
∴0＜x≤；
（Ⅱ）由y′=-24x（x-2）=0，
得x=0或x=2．
若2≤，即1≤t≤2时，f（x）在（0，2）单调递增，在（2，）上单调递减．
∴ymax=f（2）=32；
若2＞，即0＜t＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上为增函数．
ymax＝f()＝．
综上述：当1≤t≤2时，ymax=f（2）=32；
当0＜t＜1时，ymax＝．