数学家高斯在读小学二年级时，老师出了这样一道计算题．1+2+3+4+…+100=高斯很快得出了答案，他的计算方法是1+2+3+4+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=50（1+100）=5050．（1）请你应用上述方法，求S=1+3+5+…+（2n-1）的计算公式．（2）如图第二个图是由第一个图形中的三角形连接三边中点而得到的，第三个图是由第二个图中间一个三角形连接三边中点得到的，依此类推，分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形的三角形的个数，由此推测第n个图形

2019-06-02

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数学家高斯在读小学二年级时，老师出了这样一道计算题．
1+2+3+4+…+100=高斯很快得出了答案，他的计算方法是
1+2+3+4+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）
=50（1+100）=5050．
（1）请你应用上述方法，求S=1+3+5+…+（2n-1）的计算公式．
（2）如图

第二个图是由第一个图形中的三角形连接三边中点而得到的，第三个图是由第二个图中间一个三角形连接三边中点得到的，依此类推，分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形的三角形的个数，由此推测第n个图形三角形的个数，并求出第一个图形到第n个图形的三角形的个数之和．

优质解答

（1）S=1+3+5+…+（2n-1）
=[1+（2n-1）]+[3+（2n-3）+…+（2n）
=（2n）n÷2=n²

（2）设第一个图形、第二个图形、第三个图形的三角形个数和分别为a₁、a₂、a₃，第n个图形三角形的个数是a_n．第一个图形到第n个图形的三角形个数之和为S，则a₁=1，a₂=5，a₃=9，a_n=4n-3．
S=a₁+a₂+a_n=1+5+9+4n-3
=[1+（4n-3）]+[5+（4n-7）]+（4n-2）
=（4n-2）=n（2n-1）
=2n²-n （1）S=1+3+5+…+（2n-1）
=[1+（2n-1）]+[3+（2n-3）+…+（2n）
=（2n）n÷2=n²

（2）设第一个图形、第二个图形、第三个图形的三角形个数和分别为a₁、a₂、a₃，第n个图形三角形的个数是a_n．第一个图形到第n个图形的三角形个数之和为S，则a₁=1，a₂=5，a₃=9，a_n=4n-3．
S=a₁+a₂+a_n=1+5+9+4n-3
=[1+（4n-3）]+[5+（4n-7）]+（4n-2）
=（4n-2）=n（2n-1）
=2n²-n