数学
已知:如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4),点D为线段BC的中点,动点P从点O出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD的路线移动,移动的时间为t秒.(1)求直线BC的解析式;(2)若动点P在线段OA上移动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的27;(3)动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动过程中,设△OPD的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;(4)

2019-06-21

已知:如图,在直角梯形COAB中,OC∥AB,以O为原点建立平面直角坐标系,A,B,C三点的坐标分别为A(8,0),B(8,10),C(0,4),点D为线段BC的中点,动点P从点O出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD的路线移动,移动的时间为t秒.
(1)求直线BC的解析式;
(2)若动点P在线段OA上移动,当t为何值时,四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的
2
7

(3)动点P从点O出发,沿折线OABD的路线移动过程中,设△OPD的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围;
(4)试探究:当动点P在线段AB上移动时,能否在线段OA上找到一点Q,使四边形CQPD为矩形?并求出此时动点P的坐标.
优质解答
(1)设BC所在直线的解析式为y=kx+b,
因为直线BC过B(8,10),C(0,4)两点,可得:
8k+b=10
b=4

解得k=
3
4
,b=4,
因此BC所在直线的解析式是y=
3
4
x+4;
(2)过D作DE⊥OA,
则DE为梯形OABC的中位线,OC=4,AB=10,
则DE=7,又OA=8,得S梯形OABC=56,
则四边形OPDC的面积为16,S△COD=8,
∴S△POD=8,
1
2
•t×7=8,
得t=
16
7

(3)分三种情况
①0<t≤8,(P在OA上)
S三角形OPD=
7
2
t
②8<t≤18,(P在AB上)
S三角形OPD=S梯形OCBA-S三角形OCD-S三角形OAP-S角形PBD
=56-8-4(t-8)-2(18-t)=44-2t
(此时AP=t-8,BP=18-t)
③过D点作DM垂直y轴与M点
∴CM=3,DM=4,CD=5,
∴∠BCH的正弦值为
4
5

CP长为28-t
∴PH=22.4-0.8t
S三角形OPD=S三角形OPC-S三角形ODC
=
1
2
×4(22.4-0.8t)-8
=
184
5
-
8
5
t;
(4)不能.理由如下:作CM⊥AB交AB于M,
则CM=OA=8,AM=OC=4,
∴MB=6.
∴在Rt△BCM中,BC=10,
∴CD=5,
若四边形CQPD为矩形,则PQ=CD=5,
且PQ∥CD,
∴Rt△PAQ∽Rt△BDP,
设BP=x,则PA=10-x,
x
5
5
10−x

化简得x2-10x+25=0,x=5,即PB=5,
∴PB=BD,这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形.
(1)设BC所在直线的解析式为y=kx+b,
因为直线BC过B(8,10),C(0,4)两点,可得:
8k+b=10
b=4

解得k=
3
4
,b=4,
因此BC所在直线的解析式是y=
3
4
x+4;
(2)过D作DE⊥OA,
则DE为梯形OABC的中位线,OC=4,AB=10,
则DE=7,又OA=8,得S梯形OABC=56,
则四边形OPDC的面积为16,S△COD=8,
∴S△POD=8,
1
2
•t×7=8,
得t=
16
7

(3)分三种情况
①0<t≤8,(P在OA上)
S三角形OPD=
7
2
t
②8<t≤18,(P在AB上)
S三角形OPD=S梯形OCBA-S三角形OCD-S三角形OAP-S角形PBD
=56-8-4(t-8)-2(18-t)=44-2t
(此时AP=t-8,BP=18-t)
③过D点作DM垂直y轴与M点
∴CM=3,DM=4,CD=5,
∴∠BCH的正弦值为
4
5

CP长为28-t
∴PH=22.4-0.8t
S三角形OPD=S三角形OPC-S三角形ODC
=
1
2
×4(22.4-0.8t)-8
=
184
5
-
8
5
t;
(4)不能.理由如下:作CM⊥AB交AB于M,
则CM=OA=8,AM=OC=4,
∴MB=6.
∴在Rt△BCM中,BC=10,
∴CD=5,
若四边形CQPD为矩形,则PQ=CD=5,
且PQ∥CD,
∴Rt△PAQ∽Rt△BDP,
设BP=x,则PA=10-x,
x
5
5
10−x

化简得x2-10x+25=0,x=5,即PB=5,
∴PB=BD,这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形.
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