数学
一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n∈N*），其中xk（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：x4⊕x5⊕x6⊕x7=0x2⊕x3⊕x6⊕x7=0x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于

2019-04-13

一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n∈N*），其中xk（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：

x4⊕x5⊕x6⊕x7=0
x2⊕x3⊕x6⊕x7=0
x1⊕x3⊕x5⊕x7=0
，其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于（　　）

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

优质解答
依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，
①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；
②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；
③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；
④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；
⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，
故k=5符合题意；
⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；
⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；
综上，k等于5．
故选：B． 依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，
①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；
②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；
③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；
④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；
⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，
故k=5符合题意；
⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；
⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；
综上，k等于5．
故选：B．
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