设函数f(x)具有一阶连续导数,f''(x)存在,且f'(0)=0g(x)=f(x)/x x≠0 ； 0 x=0证明g(x)具有一阶连续导数
2019-12-16
设函数f(x)具有一阶连续导数,f''(x)存在,且f'(0)=0
g(x)=f(x)/x x≠0 ； 0 x=0
证明g(x)具有一阶连续导数
优质解答
x≠0时g`(x)=f`(x)x-f(x)/x^2
x=0时g`(x)=lim(x-->0)g(x)-g(0)/x=lim(x-->0)f(x)/x^2=lim(x-->0)f`(x)/2x=f``(0)/2
只需验证g`(x)在x=0连续即可
lim(x-->0)g`(x)=lim(x--0)f`(x)x-f(x)/x^2 =
lim(x-->0)f`(x)/x- lim(x-->0)f(x)/x^2=f``(0)-1/2f``(0)=f``(0)/2=g`(0)
所以g(x)具有一阶连续导数
x≠0时g`(x)=f`(x)x-f(x)/x^2
x=0时g`(x)=lim(x-->0)g(x)-g(0)/x=lim(x-->0)f(x)/x^2=lim(x-->0)f`(x)/2x=f``(0)/2
只需验证g`(x)在x=0连续即可
lim(x-->0)g`(x)=lim(x--0)f`(x)x-f(x)/x^2 =
lim(x-->0)f`(x)/x- lim(x-->0)f(x)/x^2=f``(0)-1/2f``(0)=f``(0)/2=g`(0)
所以g(x)具有一阶连续导数