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以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是多少？

2019-05-03

以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是多少？
优质解答
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠COA=∠DOB，
在△COA和△DOB中，
∠OCA＝∠ODB
OC＝OD
∠AOC＝∠DOB
，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB=
OA2+OB2
=
2
OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=
1
2
CF=1，
∴AB=
2
OA=
2
． ∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠COA=∠DOB，
在△COA和△DOB中，
∠OCA＝∠ODB
OC＝OD
∠AOC＝∠DOB
，
∴△COA≌△DOB（ASA），
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB=
OA2+OB2
=
2
OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=
1
2
CF=1，
∴AB=
2
OA=
2
．
相关标签： 正方形 中心 端点 相互 垂直 射线 分别 两点 线段
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