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高等数学中,极限是一个重要的概念.
极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下.
首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积.为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=6*2的9次方边形,利用不等式An+1=a),使得当x>M时有：
|f(x)-A|A(x->+∞)
有关公式
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) limg(x)不等于0
lim(f(x))^n=(limf(x))^n
以上limf(x) limg(x)都存在时才成立
举两个例子说明一下
一、0.999999……＝1?
谁都知道1/3＝0.333333……,而两边同时乘以3就得到1＝0.999999……,可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数.
二、“无理数”算是什么数?
我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯.
结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想.
类似的根源还在物理中（实际上,从科学发展的历程来看,物理可能才是真正的发展动力）,比如瞬时速度的问题.我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示,若时间差趋于零,则此比值就是某时刻的瞬时速度,这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值,就是0÷0,这有意义吗（这个意义是指“分析”意义,因为几何意义颇为直观,就是该点斜率）?这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释,极限的思想呼之欲出.
真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的,他当时是一位中学数学教师,这对我们今天中学教师界而言,不能不说是意味深长的.
最后再唠叨一句,所谓“定义”极限,本质上就是给“无限接近”提供一个合乎逻辑的判定方法,和一个规范的描述格式.这样,我们的各种说法,诸如“我们可以根据需要写出根号2的任一接近程度的近似值”,就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义.（此前,它们更多的只是被人“本能的”承认而已.）
高等数学中,极限是一个重要的概念.
极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下.
首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积.为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=6*2的9次方边形,利用不等式An+1=a),使得当x>M时有：
|f(x)-A|A(x->+∞)
有关公式
lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) limg(x)不等于0
lim(f(x))^n=(limf(x))^n
以上limf(x) limg(x)都存在时才成立
举两个例子说明一下
一、0.999999……＝1?
谁都知道1/3＝0.333333……,而两边同时乘以3就得到1＝0.999999……,可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数.
二、“无理数”算是什么数?
我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯.
结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想.
类似的根源还在物理中（实际上,从科学发展的历程来看,物理可能才是真正的发展动力）,比如瞬时速度的问题.我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示,若时间差趋于零,则此比值就是某时刻的瞬时速度,这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值,就是0÷0,这有意义吗（这个意义是指“分析”意义,因为几何意义颇为直观,就是该点斜率）?这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释,极限的思想呼之欲出.
真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的,他当时是一位中学数学教师,这对我们今天中学教师界而言,不能不说是意味深长的.
最后再唠叨一句,所谓“定义”极限,本质上就是给“无限接近”提供一个合乎逻辑的判定方法,和一个规范的描述格式.这样,我们的各种说法,诸如“我们可以根据需要写出根号2的任一接近程度的近似值”,就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义.（此前,它们更多的只是被人“本能的”承认而已.）