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罗巴切夫斯基几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何中“一对分散直线在其唯一公垂线两侧无限远离”这一几何平行公理用“从直线外一点,至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替,其他公理基本相同.由于平行公理不同,经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题.
我们知道,罗巴切夫斯基几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理.因此,凡是不涉及到平行公理的几何命题,在欧氏几何中如果是正确的,在罗氏几何中也同样是正确的.在欧氏几何中,凡涉及到平行公理的命题,在罗巴切夫斯基几何中都不成立,他们都相应地含有新的意义.下面举几个例子加以说明：
欧氏几何:
同一直线的垂线和斜线相交.
垂直于同一直线的两条直线平行.
存在相似的多边形.
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆.
罗巴切夫斯基几何:
同一直线的垂线和斜线不一定相交.
垂直于同一直线的两条直线,当两端延长的时候,离散到无穷.
不存在相似的多边形.
过不在同一直线上的三点,不一定能做一个圆.
从上面所列举得罗巴切夫斯基几何的一些命题可以看到,这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾.所以罗巴切夫斯基几何中的一些几何事实没有象欧氏几何那样容易被接受.但是,数学家们经过研究,提出可以用我们习惯的欧氏几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的.
1868年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现.这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾.
人们既然承认欧氏几何是没有矛盾的,所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了.直到这时,长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究,罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美,他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”.
罗巴切夫斯基几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏几何中“一对分散直线在其唯一公垂线两侧无限远离”这一几何平行公理用“从直线外一点,至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替,其他公理基本相同.由于平行公理不同,经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题.
我们知道,罗巴切夫斯基几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理.因此,凡是不涉及到平行公理的几何命题,在欧氏几何中如果是正确的,在罗氏几何中也同样是正确的.在欧氏几何中,凡涉及到平行公理的命题,在罗巴切夫斯基几何中都不成立,他们都相应地含有新的意义.下面举几个例子加以说明：
欧氏几何:
同一直线的垂线和斜线相交.
垂直于同一直线的两条直线平行.
存在相似的多边形.
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆.
罗巴切夫斯基几何:
同一直线的垂线和斜线不一定相交.
垂直于同一直线的两条直线,当两端延长的时候,离散到无穷.
不存在相似的多边形.
过不在同一直线上的三点,不一定能做一个圆.
从上面所列举得罗巴切夫斯基几何的一些命题可以看到,这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾.所以罗巴切夫斯基几何中的一些几何事实没有象欧氏几何那样容易被接受.但是,数学家们经过研究,提出可以用我们习惯的欧氏几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的.
1868年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现.这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾.
人们既然承认欧氏几何是没有矛盾的,所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了.直到这时,长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究,罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美,他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”.