求数学高手：连续N个整数的积,必能被N!整除的证明因对网上的证明都不满意,所以求高手给个简单且有说服力的证明.要求：1、不要用排列组合m(m+1)...(m+n-1)/n!公式,因为这是一种投机取巧的方法,没有从根本上说明为什么能被n!整除.况且我把题目改为“证明当N为奇数时,连续2N个奇数的乘积,必然能被1*3*5*7*.N的连乘积的平方整除”时,排列组合公式将毫无作用；2、也不要用“任意连续N个整数中,必有一个能被N整除.同理可以知道连续N个数中至少有一个能被N-1;N-2;……2,1整除.所以这连续
2019-05-29
求数学高手：连续N个整数的积,必能被N!整除的证明
因对网上的证明都不满意,所以求高手给个简单且有说服力的证明.要求：
1、不要用排列组合m(m+1)...(m+n-1)/n!公式,因为这是一种投机取巧的方法,没有从根本上说明为什么能被n!整除.况且我把题目改为“证明当N为奇数时,连续2N个奇数的乘积,必然能被1*3*5*7*.N的连乘积的平方整除”时,排列组合公式将毫无作用；
2、也不要用“任意连续N个整数中,必有一个能被N整除.同理可以知道连续N个数中至少有一个能被N-1;N-2;……2,1整除.所以这连续N个数之积能被N!整除”这样的证明.我认为,你虽然能证明它能被1,2,3.N整除,但还不够说明它就能被1,2,3...N的乘积整除.比如：你能证明24能被8整除,也同时能被6整除,难道你就能说24能被8*6整除吗?
优质解答
先声明,我不是高手.
给你一个数学归纳法的证明,不知你能否满意?
证明对任何n≥r [ n﹙n－1﹚﹙n－2﹚…﹙n－r＋1﹚]/r!是整数
n＝1时 无论r是0或1 命题都成立
设n＝k时 所给的数全是整数 那么n＝k＋1时
﹙k＋1﹚k…﹙k－r＋2﹚/r!＝[k﹙k－1﹚…﹙k－r＋1﹚/r!]＋[k﹙k－1﹚…﹙k－r＋2﹚/﹙r－1﹚!
上式右边两个都是整数 相加也是整数
∴对k＋1成立
∴命题成立
先声明,我不是高手.
给你一个数学归纳法的证明,不知你能否满意?
证明对任何n≥r [ n﹙n－1﹚﹙n－2﹚…﹙n－r＋1﹚]/r!是整数
n＝1时 无论r是0或1 命题都成立
设n＝k时 所给的数全是整数 那么n＝k＋1时
﹙k＋1﹚k…﹙k－r＋2﹚/r!＝[k﹙k－1﹚…﹙k－r＋1﹚/r!]＋[k﹙k－1﹚…﹙k－r＋2﹚/﹙r－1﹚!
上式右边两个都是整数 相加也是整数
∴对k＋1成立
∴命题成立