德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n=n(n+1)2．这个公式可以用一种叫做“交叉消项求和法”的方法推导如下：在“平方公式”（a+b）2=a2+2ab+b2中，取b=1，得2a+1=（a+1）2-a2．…（*）在（*）中分别取a=1，2，3，…，n，再左右分别相加，得2（1+2+3+…+n）+n×1=（22-12）+（32-22）+（42-32）+…+[n2-（n-1）2]+[（n+1）2-n2]=（n+1）2-1=n2+2n．即1+2+3+…+n=n(n+1)2．
2020-04-29
德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式1+2+3+…+n=．
这个公式可以用一种叫做“交叉消项求和法”的方法推导如下：
在“平方公式”（a+b）2=a2+2ab+b2中，
取b=1，得2a+1=（a+1）2-a2．…（*）
在（*）中分别取a=1，2，3，…，n，再左右分别相加，得2（1+2+3+…+n）+n×1=（22-12）+（32-22）+（42-32）+…+[n2-（n-1）2]+[（n+1）2-n2]=（n+1）2-1=n2+2n．
即1+2+3+…+n=．现在请你利用“立方公式”（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3来推导12+22+32+…+n2的计算公式，要求写出推算过程．注：可以利用已推导的公式1+2+3+…+n=．
优质解答
在立方公式中，取b=1得（a+1）3-a3=3a2+3a+1，
依次取a=1，2，3，…，n-1，n得
23-1=3×12+3×1+1，33-23=3×22+3×2+1，43-33=3×32+3×3+1，…（n+1）3-n3=3×n2+3n+1，
将以上n个式子相加，得（n+1）3-1=3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n，
∴12+22+32+…+n2==．
在立方公式中，取b=1得（a+1）3-a3=3a2+3a+1，
依次取a=1，2，3，…，n-1，n得
23-1=3×12+3×1+1，33-23=3×22+3×2+1，43-33=3×32+3×3+1，…（n+1）3-n3=3×n2+3n+1，
将以上n个式子相加，得（n+1）3-1=3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n，
∴12+22+32+…+n2==．