如何用公式来证明【在地球上】两个相同体积不同质量的球自由落体的落地时间不一样?
2019-04-18
如何用公式来证明【在地球上】两个相同体积不同质量的球自由落体的落地时间不一样?
优质解答
证：
设：物体1的质量是M、体积是V、加速度是a1、落地所需时间是t1；物体2的质量是m、体积是V、加速度是a2、落地所需时间是t2；两物体释放的高度是h；空气密度是ρ；两物体的初速度均为0.且M＞m
物体1受到的力：向下的重力：Mg；向上的浮力：ρV.物体1受到的合力：Mg-ρV
由牛顿定律,有：Mg-ρV=M(a1),即：a1=(Mg-ρV)/M=g-ρV/M
由于：h=at²/2
所以：t1=√[2h/(a1)]=√[2h/(g-ρV/M)]
同理,有：
t2=√[2h/(g-ρV/m)]
(t1)/(t2)={√[2h/(g-ρV/M)]}/{√[2h/(g-ρV/m)]}
(t1)/(t2)=√{2h(g-ρV/m)/[2h(g-ρV/M)]}
(t1)/(t2)=√[(g-ρV/m)/(g-ρV/M)]
(t1)/(t2)=√{[M(mg-ρV)/[m(Mg-ρV)]}
因为：M≠m
所以：√{[M(mg-ρV)/[m(Mg-ρV)]}≠1
因此：t1≠t2.
证毕.
证：
设：物体1的质量是M、体积是V、加速度是a1、落地所需时间是t1；物体2的质量是m、体积是V、加速度是a2、落地所需时间是t2；两物体释放的高度是h；空气密度是ρ；两物体的初速度均为0.且M＞m
物体1受到的力：向下的重力：Mg；向上的浮力：ρV.物体1受到的合力：Mg-ρV
由牛顿定律,有：Mg-ρV=M(a1),即：a1=(Mg-ρV)/M=g-ρV/M
由于：h=at²/2
所以：t1=√[2h/(a1)]=√[2h/(g-ρV/M)]
同理,有：
t2=√[2h/(g-ρV/m)]
(t1)/(t2)={√[2h/(g-ρV/M)]}/{√[2h/(g-ρV/m)]}
(t1)/(t2)=√{2h(g-ρV/m)/[2h(g-ρV/M)]}
(t1)/(t2)=√[(g-ρV/m)/(g-ρV/M)]
(t1)/(t2)=√{[M(mg-ρV)/[m(Mg-ρV)]}
因为：M≠m
所以：√{[M(mg-ρV)/[m(Mg-ρV)]}≠1
因此：t1≠t2.
证毕.