证明全体无理数的集合不可以表示为可列个闭集的并.实变函数的问题.我想了好久,还是做不出,还望高手赐教
2019-05-23
证明全体无理数的集合不可以表示为可列个闭集的并.
实变函数的问题.我想了好久,还是做不出,还望高手赐教
优质解答
假定R\Q是可列个闭集F_k的并, 那么每个F_k都不包含内点(若某个F_k有内点则会包含有理数)
再注意到Q也是可列个单点集{r_k}的并, 这样R就可以表示成可列个不含内点的闭集的并
由Baire纲定理可得R也没有内点, 矛盾
假定R\Q是可列个闭集F_k的并, 那么每个F_k都不包含内点(若某个F_k有内点则会包含有理数)
再注意到Q也是可列个单点集{r_k}的并, 这样R就可以表示成可列个不含内点的闭集的并
由Baire纲定理可得R也没有内点, 矛盾