一道有关导数的高中数学难题函数A:y=1/x与函数B:y=ax²+bx有且仅有两个交点C(x1,y1)和D(x2,y2),问:当a>0时,x1+x2(填>或<)0,y1+y2(填>或<)0;当a<0时,x1+x2(填>或<)0,y1+y2(填>或<)0 要求1:除了答案还要有过程;要求2:必须用纯代数的方法加以严格证明,不要用几何方法辅助解题
2019-05-22
一道有关导数的高中数学难题
函数A:y=1/x与函数B:y=ax²+bx有且仅有两个交点C(x1,y1)和D(x2,y2),问:当a>0时,x1+x2(填>或<)0,y1+y2(填>或<)0;当a<0时,x1+x2(填>或<)0,y1+y2(填>或<)0 要求1:除了答案还要有过程;要求2:必须用纯代数的方法加以严格证明,不要用几何方法辅助解题
优质解答
将 y=1/x 代入函数 B:1/x=ax²+bx→x³+(b/a)x²-(1/a)=0;
因为 x1、x2 都是方程的根,所以 上述方程可化为:(x-x2)(x1²+mx1+n)=0,且 m²-4n=0;
即 x1 应是二重根,所以有 (x-x1)²(x-x2)=0 → x³-(2x1+x2)x²+(x1²+2x1*x2)x-x1²*x2=0;
与第一行的方程逐项对比可知,-(2x1+x2)=b/a,x1²+2x1*x2=0,-x1²*x2=-1/a;
从上面第三式可知,单根 x2 与 a 同符号,再由第二式得 x1+2x2=0,因此 x2=-(x1)/2;
所以 x2 与 x1 异号,x1+x2=(x1)/2 与 x1(即与 a)同号,即 x1+x2>0;
ya+y2=(1/x1)+(1/x2)=(x1+x2)/(x1*x2)0,分母中 x1 与 x2 异号);
当 a
将 y=1/x 代入函数 B:1/x=ax²+bx→x³+(b/a)x²-(1/a)=0;
因为 x1、x2 都是方程的根,所以 上述方程可化为:(x-x2)(x1²+mx1+n)=0,且 m²-4n=0;
即 x1 应是二重根,所以有 (x-x1)²(x-x2)=0 → x³-(2x1+x2)x²+(x1²+2x1*x2)x-x1²*x2=0;
与第一行的方程逐项对比可知,-(2x1+x2)=b/a,x1²+2x1*x2=0,-x1²*x2=-1/a;
从上面第三式可知,单根 x2 与 a 同符号,再由第二式得 x1+2x2=0,因此 x2=-(x1)/2;
所以 x2 与 x1 异号,x1+x2=(x1)/2 与 x1(即与 a)同号,即 x1+x2>0;
ya+y2=(1/x1)+(1/x2)=(x1+x2)/(x1*x2)0,分母中 x1 与 x2 异号);
当 a