设g(x)=F(x)+1/2x-b=lnx-1/2ax^2-3x/2-b
F(x)=-1/2x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根
相当于g(x)在[1,4]上有且仅有一个极值点
对g(x)求导得 g'(x)=1/x-ax-3/2
令g'(x)=0可得 1/x-ax-3/2=0,即2ax^2+3x-2=0
解得 x1=[-3-√(9+16a)]/(4a),x2=[-3+√(9+16a)]/(4a)
代入a=-1/2,可得x1=2,x2=1
可见,g(x)在x=1或x=2处取得极值
则在区间[1,2]上,必有g(1)*g(2)≤0,
即 (0-1/2*a-3/2-b)*(ln2-2a-3-b)≤0
即 (-5/4-b)*(ln2-2-b)≤0
即 ln2-2≤b≤-5/4
同时,在区间[2,4]上,必有g(2)*g(4) 设g(x)=F(x)+1/2x-b=lnx-1/2ax^2-3x/2-b
F(x)=-1/2x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根
相当于g(x)在[1,4]上有且仅有一个极值点
对g(x)求导得 g'(x)=1/x-ax-3/2
令g'(x)=0可得 1/x-ax-3/2=0,即2ax^2+3x-2=0
解得 x1=[-3-√(9+16a)]/(4a),x2=[-3+√(9+16a)]/(4a)
代入a=-1/2,可得x1=2,x2=1
可见,g(x)在x=1或x=2处取得极值
则在区间[1,2]上,必有g(1)*g(2)≤0,
即 (0-1/2*a-3/2-b)*(ln2-2a-3-b)≤0
即 (-5/4-b)*(ln2-2-b)≤0
即 ln2-2≤b≤-5/4
同时,在区间[2,4]上,必有g(2)*g(4)