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某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．（Ⅰ）求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；（Ⅱ）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求ξ的分布列与数学期望．

2019-05-03

某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，且只能从中选一门．该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同．
（Ⅰ）求3个学生选择了3门不同的选修课的概率；
（Ⅱ）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求ξ的分布列与数学期望．
优质解答
（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，
满足条件的事件数是A43，
∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1=
A
3
4
43
=
3
8

（Ⅱ）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P2=
C
2
4
C
1
3
A
2
2
43
=
9
16

（Ⅲ）设某一选择修课这3个学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．
P（ξ=0）=
33
43
=
27
64
；
P（ξ=1）=
C
1
3
32
43
=
27
64
；
P（ξ=2）=
C
2
3
•3
43
=
9
64
；
P（ξ=3）=
1
43
=
1
64
．
∴ξ的分布列为：

∴期望Eξ=0×
27
64
+1×
27
64
+2×
9
64
+3×
1
64
=
3
4
． （Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是43，
满足条件的事件数是A43，
∴3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1=
A
3
4
43
=
3
8

（Ⅱ）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P2=
C
2
4
C
1
3
A
2
2
43
=
9
16

（Ⅲ）设某一选择修课这3个学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．
P（ξ=0）=
33
43
=
27
64
；
P（ξ=1）=
C
1
3
32
43
=
27
64
；
P（ξ=2）=
C
2
3
•3
43
=
9
64
；
P（ξ=3）=
1
43
=
1
64
．
∴ξ的分布列为：

∴期望Eξ=0×
27
64
+1×
27
64
+2×
9
64
+3×
1
64
=
3
4
．
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